Radykał ideału

Radykał – w pierścieniu przemiennym ${\displaystyle R,}$ radykał ideału ${\displaystyle I}$ (oznaczany przez ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$^[1]) to zbiór wszystkich elementów pierścienia, których pewna potęga leży w ideale ${\displaystyle I{:}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{a\in R:\exists {n>0}:a^{n}\in I\right\}}$^[1].

Dowodzi się, że radykał ideału ${\displaystyle I}$ również jest ideałem, ${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$ oraz gdy ideał ${\displaystyle I}$ jest pierwszy, to ${\displaystyle I={\sqrt {I}}.}$ Implikacja w drugą stronę jednak nie zachodzi: równość ${\displaystyle I={\sqrt {I}}}$ nie implikuje pierwszości ideału ${\displaystyle I,}$ jako kontrprzykład można wziąć np. ideał generowany przez ${\displaystyle xy}$ w pierścieniu wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} [x,y].}$ W związku z tym, ideały spełniające ${\displaystyle I={\sqrt {I}}}$ nazywamy ideałami radykalnymi.

Radykał ideału ${\displaystyle I}$ jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających ${\displaystyle I.}$

Ideały radykalne odgrywają dużą rolę w klasycznej geometrii algebraicznej, ze względu na wyrażaną poprzez twierdzenie Hilberta o zerach odpowiedniość ideałów radykalnych w pierścieniach wielomianów nad ciałami algebraicznie domkniętymi, a rozmaitościami algebraicznymi nad tymi ciałami.

• Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7. Brak numerów stron w książce