Równanie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne – równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej^[1].

Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.

Elementarne równania trygonometryczne to:

${\displaystyle \sin \ x=a,}$

${\displaystyle \cos \ x=a,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a,}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a,}$

gdzie:

${\displaystyle a}$ – ustalona liczba rzeczywista.

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:

1. ${\displaystyle \sin \ x=a}$

• dla ${\displaystyle |a|>1}$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla ${\displaystyle |a|\leqslant 1,}$

${\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x={\pi }-x_{0}+2k{\pi },}$

gdzie:

${\displaystyle x_{0}}$ – rozwiązanie należące do przedziału ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right],}$

${\displaystyle k\in C.}$

2. ${\displaystyle \cos \ x=a}$

• dla ${\displaystyle |a|>1}$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla ${\displaystyle |a|\leqslant 1,}$

${\displaystyle x=x_{0}+2k{\pi }\vee x=-x_{0}+2k{\pi },}$

gdzie:

${\displaystyle x_{0}}$ – rozwiązanie należące do przedziału ${\displaystyle [0;{\pi }],}$

${\displaystyle k\in C.}$

3. ${\displaystyle \operatorname {tg} \ x=a}$

• dla ${\displaystyle a\in R}$

${\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}$

gdzie:

${\displaystyle x_{0}}$ – rozwiązanie należące do przedziału ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right),}$

${\displaystyle k\in C.}$

4. ${\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=a}$

• dla ${\displaystyle a\in R}$

${\displaystyle x=x_{0}+k{\pi },}$

gdzie:

${\displaystyle x_{0}}$ – rozwiązanie należące do przedziału ${\displaystyle (0;{\pi }),}$

${\displaystyle k\in C.}$

W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.

• Encyklopedia matematyka, A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.

Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-04]:

• Szymon Charzyński, Układ równań trygonometrycznych, 10 lutego 2014.
• Krzysztof Kwiecień, Rozwiązywanie równań trygonometrycznych postaci sin(x)=d, 4 listopada 2017.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem – rozwiązania w przedziale, 10 lutego 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z sinusem, 7 marca 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem, 27 marca 2024.