Równanie fali elektromagnetycznej
Równanie fali elektromagnetycznej – równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w ośrodku lub próżni. Równanie wyrażone z użyciem pola elektrycznego E lub pola magnetycznego B ma postać jednorodną:
gdzie cm to prędkość światła w ośrodku materialnym. Dla próżni cm = c = 299 792 458 m/s[1].
Równanie fali elektromagnetycznej wyprowadza się z równań Maxwella.
Prędkość propagacji
W próżni
Jeżeli fala rozchodzi się w próżni, to
oznacza prędkość światła w próżni – stałą fizyczną, która definiuje metr, podstawową jednostkę długości w układzie SI. Przenikalność magnetyczna i przenikalność elektryczna próżni to ważne stałe fizyczne odgrywające ważną rolę w teorii elektromagnetyzmu. Ich wartości[2] (w jednostkach układu SI) podano w tabeli poniżej:
Stała | Nazwa | Wartość liczbowa | Jednostka (układ SI) | Rodzaj |
---|---|---|---|---|
prędkość światła w próżni | metrów na sekundę | zdefiniowana | ||
przenikalność elektryczna próżni | faradów na metr | wyprowadzona; | ||
przenikalność magnetyczna próżni | henrów na metr | zdefiniowana | ||
impedancja falowa próżni | omy | wyprowadzona; |
W ośrodku materialnym
Prędkość światła w liniowym, izotropowym niedyspersyjnym ośrodku materialnym wynosi
gdzie
jest współczynnikiem załamania ośrodka, jest przenikalnością magnetyczna ośrodka, a przenikalnością elektryczną ośrodka.
Pochodzenie równania fali elektromagnetycznej
Zasada zachowania ładunku
Zasada zachowania ładunku wymaga, aby tempo zmiany całkowitego ładunku zamkniętego w objętości V było równe sumie algebraicznej prądów płynących przez powierzchnię S otaczającą tę objętość:
gdzie j to gęstość prądu (w amperach na metr kwadratowy) płynącego przez powierzchnie, a ρ – gęstość ładunku elektrycznego (w kulombach na metr sześcienny) w każdym punkcie objętości V.
Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wyrażenie to można przekształcić z postaci całkowej na postać różniczkową:
Prawo Ampère’a przed poprawką Maxwella
W swojej oryginalnej postaci prawo Ampera wiąże pole magnetyczne B z gęstością objętościową prądu j:
gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:
Niespójność prawa Ampera i zasady zachowania ładunku
Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:
Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:
Łącząc te dwa równania, otrzymujemy
Ponieważ to niezerowa stała, możemy stwierdzić
Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że
Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.
Poprawka Maxwella do prawa Ampera
Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem
gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:
Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:
To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw. prąd przesunięcia:
Tak więc prawo Ampera w postaci uogólnionej wyraża równanie
Hipoteza Maxwella o świetle jako fali elektromagnetycznej
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Postcard-from-Maxwell-to-Tait.jpg/175px-Postcard-from-Maxwell-to-Tait.jpg)
W swojej pracy z roku 1864 zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego Maxwell wykorzystał swoją poprawkę do prawa Ampera, którą opublikował w trzeciej części pracy z 1861 roku pt. O fizycznych liniach sił[3]. W części czwartej zatytułowanej Elektromagnetyczna teoria światła[4] Maxwell powiązał prąd przesunięcia z innymi równaniami elektromagnetyzmu i otrzymał równanie fali o prędkości równej prędkości światła. Komentując to:
- Zgodność wyników pozwala stwierdzić, że światło i magnetyzm są manifestacją tegoż samego zjawiska, tak więc światło zgodnie z prawami elektromagnetyzmu jest elektromagnetycznym zaburzeniem rozchodzącym się w polu[5].
Maxwellowskie wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej we współczesnej fizyce zastąpione zostało bardziej przystępną metodą, korzystającą z poprawionego prawa Ampera i prawa Faradaya.
Aby otrzymać równanie fali elektromagnetycznej współczesną metodą, korzystamy z postaci równań Maxwella opracowanych przez Heaviside’a. Dla próżni równania te przybierają postać:
Działając operatorem rotacji na obie strony równań zawierających operator rotacji, otrzymujemy:
Korzystając z tożsamości wektorowej
gdzie to dowolna funkcja wektorowa przestrzeni, otrzymujemy równania falowe:
gdzie
to prędkość światła w próżni.
Przypisy
- ↑ Do oznaczenia prędkości światła w próżni stosuje się również oznaczenie c0. Patrz NIST Special Publication 330, Appendix 2, s. 45.
- ↑ Dane z NIST.
- ↑ O fizycznych liniach sił.
- ↑ Maxwell 1864 4 (strona 497 pracy lub 9 dokumentu pdf).
- ↑ Patrz Maxwell 1864 5, strona 499 pracy lub strona 1 dokumentu pdf.