Równanie całkowe Fredholma[1] – równanie całkowe postaci
![{\displaystyle u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=v(x),\;x\in \Omega \;{\mbox{(Fr)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef54f3d5b2512e8be5159f9c356aa1ec66f80b06)
gdzie funkcje
oraz liczba
są ustalone natomiast funkcja
jest szukana.
Zwykle o zbiorze
zakłada się, że jest otwartym i spójnym podzbiorem przestrzeni
Funkcję
nazywamy jądrem. Nakładając na jądro pewne założenia (np. co do całkowalności) można otrzymać wyniki dotyczące istnienia rozwiązań równania Fredholma. Jednym z nich jest twierdzenie Fredholma:
Twierdzenie Fredholma
Niech
Wówczas
- Równanie
ma dla każdej prawej strony
niezerowe rozwiązanie
wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania
![{\displaystyle u(x)-\mu \int \limits _{\Omega }k(x,y)u(y)dy=0,\,({\mbox{Fr}}_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11553795f7a5ef80b3371683e4302158a9caa3)
- jest funkcja tożsamościowo równa zeru.
- Jeśli
ma niezerowe rozwiązanie
to istnieje również niezerowe rozwiązanie
równania
![{\displaystyle u(x)-{\overline {\mu }}\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}u(y)dy=0,\,{\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec19760ceabe7ef55aa5ecc4c13f38434411f2)
- ponadto, rozwiązania obu tych równań tworzą skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe o równych wymiarach.
- Jeżeli równanie
ma niezerowe rozwiązanie
to równanie
ma rozwiązanie
dla danej prawej strony
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle \int \limits _{\Omega }v(x){\overline {u(x)}}dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40596c96d031e93abce347b076875d134629330)
- dla każdego
spełniającego równanie ![{\displaystyle {\overline {({\mbox{Fr}}_{0})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223e5fbd1bce973adb503a999ad8e57d8dc3dcff)
- Zbiór wszystkich liczb
dla których
ma niezerowe rozwiązanie
jest albo skończony albo tworzy ciąg
taki, że
![{\displaystyle |\mu _{n}|\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63edc2d5fb5c662dd431f99801d62c80c7c96523)
Uwagi o dowodzie
Dowód twierdzenia Fredholma opiera się całkowicie na alternatywie Fredholma oraz następującej obserwacji – jeżeli
oraz
![{\displaystyle Au(x)=\int \limits _{\Omega }k(x,y)u(x)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6c8f2f6b975d4348497fc54a1abc01f3475502)
dla
to
- operator
jest liniowy i ciągły. - operator
jest zwarty - operator
jest również zwarty oraz
![{\displaystyle A^{\star }v(x)=\int \limits _{\Omega }{\overline {k(y,x)}}v(y)dy,\;v\in L^{2}(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045b4b67f61a45ab554d3ac8ec31a192163ad76a)
Nazwa równania pochodzi od nazwiska szwedzkiego matematyka Fredholma.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ równania całkowe Fredholma, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
Bibliografia
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.