Punkty Brocarda
![]() | Ten artykuł od 2010-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Brocard_point.svg/360px-Brocard_point.svg.png)
Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.
Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie[1]:
W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości[1]:
Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta Kąt jest kątem Brocarda trójkąta
Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:
Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi
Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie
Konstrukcja
Przykład:
- Obieramy trzy niewspółliniowe punkty
- Kreślimy prostą przez punkty i prostą, a przez punkty i oraz prostą przez punkty i
- Kreślimy symetralną boku i oznaczamy ją przez
- Kreślimy prostą prostopadłą do prostej, a przez punkt
- Punkt przecięcia się symetralnej i prostej oznaczamy
- Z punktu kreślimy okrąg o promieniu Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt i jest styczny do prostej
- Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty i styczny do prostej
a następnie okrąg przez punkty i styczny do prostej
Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta
Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.
Równania kąta Brocarda
Oznaczmy przez pole powierzchni trójkąta Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:
Dla każdego trójkąta:
Właściwości
- Oba punkty Brocarda trójkąta są ze sobą sprzężone izogonalnie.
- Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.
Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.