Punkt Nagela
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/NagelPoint1.svg/450px-NagelPoint1.svg.png)
Punkt Nagela – punkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 roku[1].
Definicja formalna
Niech dany będzie trójkąt Oznaczmy poprzez punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.
Dowód
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/NagelPoint2.svg/350px-NagelPoint2.svg.png)
Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki przecinają się w jednym punkcie[2][1][3].
Z definicji okrąg jest styczny do ramion kąta Oznaczmy punkty styczności okręgu z ramionami poprzez oraz Oznacza to, że odcinki i mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki i oraz i ponieważ okrąg jest również styczny do ramion kątów oraz Wywnioskować możemy z tego, że
(1a) |
Analogicznie wywnioskować możemy, że
(1b) |
(1c) |
Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaci[4]
(2a) |
(2b) |
(2c) |
Teraz zauważmy, że zachodzi
co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki przecinają się więc w jednym punkcie.
Związki z innymi punktami w trójkącie
Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’a[5].
Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanego są współliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-Eulera[6].
Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta tj. trójkąta, dla którego jest trójkątem dopełniającym[6][7][8] .
Współrzędne trójliniowe
Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela są[9]
lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,
Przypisy
- ↑ a b Bottema 2008 ↓, s. 10–11.
- ↑ Mikołajczyk 2012 ↓, s. 178.
- ↑ Zetel 1964 ↓, s. 20–21.
- ↑ Coxeter 1967 ↓, s. 13.
- ↑ Bottema 2008 ↓, s. 117–118.
- ↑ a b Zetel 1964 ↓, s. 55–56.
- ↑ Anonim 1893 ↓.
- ↑ Polymathematics ↓.
- ↑ Gallatly 1913 ↓, s. 20.
Bibliografia
- Peter Baptist. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. „Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften”. 71 (2), 1987.
- O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
- H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
- William Gallatly: The Modern Geometry of the Triangle. Londyn: Hodgson, 1913.
- Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki. praca zbiorowa pod red. Małgorzaty Mikołajczyk. Warszawa: Ośrodek Rozwoju Edukacji, 2012.
- David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
- Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
- S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
- Anonim. Geometry: 69-72, Problem 73. „American Mathematical Monthly”. 3 (12), s. 329, 1893. JSTOR: 2970994?.
Linki zewnętrzne
- Polymathematics: Why is the Incenter the Nagel Point of the Medial Triangle?. [dostęp 2014-08-18].
- Punkt Nagela ze strony Cut-the-knot