Pseudookrąg

Pseudookrąg – przykład, o znaczeniu teoretycznym, spełniającej aksjomat ${\displaystyle T_{0}}$, czteropunktowej skończonej przestrzeni topologicznej. Jest to najmniejsza, w sensie liczby punktów, przestrzeń topologiczna mająca nieskończoną grupę podstawową^[1].

Pseudookrąg jest przestrzenią topologiczną określoną na zbiorze ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}=\{a,b,c,d\}}$, w której topologią jest rodzina $${\displaystyle \{{\mathcal {S}}^{1},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{a,c\},\{a\},\{c\},\varnothing \}.}$$

Topologia ta, podobnie jak topologia każdej ${\displaystyle T_{0}}$-przestrzeni Aleksandrowa, odpowiada pewnemu częściowemu porządkowi^[1], który można przedstawić na poniższym diagramie Hassego

.

Bazą tej topologii są zbiory 'zniżkowe' względem wspomnianego uporządkowania, tj. zbiory postaci $${\displaystyle U_{x}=\{y\in {\mathcal {S}}^{1}:y\leqslant x\}}$$ dla ${\displaystyle x\in {\mathcal {S}}^{1}}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{1}}$ jest ${\displaystyle T_{0}}$-przestrzenią Aleksandrowa, lecz nie jest przestrzenią ${\displaystyle T_{1}}$.
• Pseudookrąg jest słabo homotopijnie równoważny ze sferą ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ (tj. okręgiem ze standardową topologią). Z tego wynika, że obie przestrzenie mają izomorficzne grupy homotopii oraz homologii. W szczególności, grupa podstawowa ${\displaystyle \pi _{1}({\mathcal {S}}^{1})}$ jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Pseudookrąg nie jest homotopijnie równoważny sferze ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$^[1][2].

• Skończona przestrzeń topologiczna
• Przestrzeń Aleksandrowa