Przestrzenie T5 i T6

Przestrzeń ${\displaystyle T_{5}}$ i przestrzeń ${\displaystyle T_{6}}$ – terminy w topologii odnoszące się do jednych z najsilniejszych aksjomatów oddzielania.

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią dziedzicznie normalną (albo całkowicie normalną albo ${\displaystyle T_{5}}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₄ w której każda podprzestrzeń jest normalna.

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią doskonale normalną (albo ${\displaystyle T_{6}}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₄ w której każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Tak jak w przypadku przestrzeni regularnych, Tichonowa czy też normalnych, istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń dziedzicznie/całkowicie normalna i przestrzeń ${\displaystyle T_{5}}$ oraz przestrzeń doskonale normalna i przestrzeń ${\displaystyle T_{6}}$. Źródłem różnic jest zakładanie (bądź nie) aksjomatu T₁. W tym artykule obowiązuje terminologia ustalona w monografii Engelkinga^[1] – zakładamy, że rozważane przestrzenie są przestrzeniami ${\displaystyle T_{4}.}$

Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w przez autorów.

• Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami doskonale normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda regularna przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią doskonale normalną.
• Istnieją przestrzenie całkowicie normalne które nie są doskonale normalne. Rozważmy na przykład zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wszystkich liczb rzeczywistych z topologią ${\displaystyle \tau }$ zawierającą wszystkie zbiory ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ takie że ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$ jest skończone lub ${\displaystyle 0\notin U}$ lub ${\displaystyle U=\varnothing .}$ Wtedy ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{5},}$ ale nie ${\displaystyle T_{6}.}$
• Istnieją przestrzenie T6, które nie są metryzowalne. Na przykład topologia na ${\displaystyle \omega _{1}}$ wprowadzona przez bazę ${\displaystyle \{\{0\}\cup \{(\alpha ,\beta ]\colon \,\alpha <\beta <\omega _{1}\}\}}$ nie jest metryzowalna ani nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.
• Pod założeniem ZFC + „istnieje zbiór Łuzina na prostej” można podać przykład doskonale normalnej, dziedzicznie ośrodkowej rozmaitości, która nie jest metryzowalna^[2]. Konstrukcja tego typu przestrzeni wymaga założenia aksjomatów spoza ZFC^[3].

• Każda przestrzeń doskonale normalna jest całkowicie normalna.
• Obraz przestrzeni doskonale normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią doskonale normalną.
• Podprzestrzeń przestrzeni doskonale normalnej jest doskonale normalna i tak samo dla przestrzeni dziedzicznie normalnych (czyli własności być przestrzenią doskonale normalną i być przestrzenią dziedzicznie normalną są własnościami dziedzicznymi).
• Następujące Twierdzenie Wedenisowa jest często podawane jako uzasadnienie że własność ${\displaystyle T_{6}}$ jest własnością oddzielania:

Przestrzeń T₁ ${\displaystyle X}$ jest doskonale normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ istnieje funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$ taka, że ${\displaystyle f^{-1}[\{0\}]=A}$ i ${\displaystyle f^{-1}[\{1\}]=B.}$

• Następujące twierdzenie jest często podawane jako uzasadnienie, że własność ${\displaystyle T_{5}}$ jest własnością oddzielania:

Przestrzeń T₁ ${\displaystyle X}$ jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ takich że ${\displaystyle A\cap \operatorname {cl} (B)=\varnothing =\operatorname {cl} (A)\cap B}$ istnieją zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ takie że ${\displaystyle A\subseteq U,}$ ${\displaystyle B\subseteq V}$ i ${\displaystyle U\cap V=\varnothing .}$

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń normalna ${\displaystyle (T_{4})}$