Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych, przestrzeń próbek losowych) – zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego; wyniki te nazywa się zdarzeniami elementarnymi^[1].

Pojęcie zbioru zdarzeń elementarnych należy do podstawowych w rachunku prawdopodobieństwa. Tradycyjnie zbiór ten oznacza się literą ${\displaystyle \Omega .}$

Zbiór zdarzeń elementarnych stanowi jeden z trzech elementów modelu probabilistycznego opisującego dane doświadczenie losowe. Pozostałymi elementami są: zbiór zdarzeń losowych ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ (tj. mierzalnych podzbiorów ${\displaystyle \Omega ,}$ które tworzą tzw. σ-ciało^[a]) oraz miara probabilistyczna ${\displaystyle P}$ (prawdopodobieństwo) przypisana do każdego zdarzenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega }$ uzupełniony o σ-ciało ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ tworzy parę ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ zwaną przestrzenią mierzalną. Przestrzeń mierzalna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ uzupełniona o miarę probabilistyczną tworzy trójkę ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ zwaną przestrzenią probabilistyczną.

Pomiędzy zdarzeniami elementarnymi a zdarzeniami losowymi istnieje istotna różnica: pierwsze są pojedynczymi elementami ${\displaystyle \omega _{i}}$ zbioru zdarzeń elementarnych (czyli ${\displaystyle \omega _{i}\in \Omega }$), natomiast drugie są podzbiorami zbioru zdarzeń elementarnych – mogą więc zawierać wiele zdarzeń elementarnych, np. zdarzenie ${\displaystyle A=\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}\subseteq \Omega .}$

• Rzut jedną monetą: zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór ${\displaystyle \Omega }$ = {Orzeł, Reszka}, przy czym zdarzeniami elementarnymi są Orzeł oraz Reszka.
• Rzut dwiema monetami: zbiór zdarzeń elementarnych ma postać par uporządkowanych ${\displaystyle \Omega }$ = {(O, O), (O, R), (R, O), (R,R)}, gdzie oznaczono: O = orzeł oraz R = reszka (na 1. miejscu notujemy wyniki rzutu 1. monetą, a na 2. miejscu wyniki rzutu 2. monetą).
• Rzut n monet: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą n-ki uporządkowane, w których poszczególne elementy mogą przyjmować wartości O lub R.
• Rzut pojedynczą kostką: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą liczby oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie, tj. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{1,2,3,4,5,6\}.}$
• Rzut dwiema kostkami: zbiór zdarzeń elementarnych tworzą pary liczb oczek, jakie można otrzymać w pojedynczym rzucie na każdej z kostek, tj. ${\displaystyle \Omega ^{2}=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),(2,2),\dots ,(6,6)\}.}$ Zbiór zdarzeń elementarnych jest więc iloczynem kartezjańskim zbioru ${\displaystyle \Omega ^{1},}$ tj. ${\displaystyle \Omega ^{2}=\Omega ^{1}\times \Omega ^{1}.}$

• przestrzeń mierzalna
• przestrzeń probabilistyczna

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1.: Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.