Przestrzeń fazowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Comet_plot_1.gif/300px-Comet_plot_1.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Focal_stability.png/297px-Focal_stability.png)
Przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów) – przestrzeń przypisana do danego układu dynamicznego; osie współrzędnych reprezentują różne wielkości fizyczne (w ogólności np. współrzędne uogólnione i pędy uogólnione[1]), pozwalające jednoznacznie opisać stanu tego układu, tzn. każdy punkt przestrzeni fazowej przedstawia jeden możliwy stan układu.
W mechanice klasycznej przestrzeń stanów układu cząstek materialnych jest reprezentowana przez położenia i pędy poszczególnych cząstek. Np. stan jednej cząstki w przestrzeni jest określony w pełni, jeżeli są dane współrzędne położenia i współrzędne pędu cząstki, tj.
W termodynamice przestrzeń stanów stałej porcji substancji jest reprezentowana przez ciśnienie i temperaturę (lub ciśnienie i objętość itd.).
Koncepcja przestrzeni stanów rozwinęli w późnych latach XIX wieku Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré oraz Josiah Willard Gibbs.
Jeżeli układ zmienia swój stan w czasie, to kreśli w przestrzeni stanów krzywą zwaną trajektorią, krzywą fazową lub orbitą.
Liczba wymiarów przestrzeni stanów
Przestrzeń stanów jest wielowymiarowa:
- każdy stopień swobody układu mechanicznego jest opisywany za pomocą współrzędnej kartezjańskiej lub współrzędnej uogólnionej; każdej współrzędnej odpowiada osobny wymiar przestrzeni,
- ponadto dochodzą wymiary związane z prędkościami lub prędkościami uogólnionymi (czyli zmianami współrzędnych uogólnionych w czasie); zamiast prędkości używa się też pędów.
Przykłady
- Dla cząstki poruszającej się w jednym kierunku przestrzeń stanów ma dwa wymiary, odpowiadające położeniu i prędkości cząstki.
- Dla 1 mola gazu rzeczywistego wymiar przestrzeni stanów możemy oszacować w następujący sposób: przy 1 molu gazu (w przybliżeniu 6×1023 cząstek), zadając dla każdej cząstki kolejno 3 wymiary związane z jej położeniem, 3 ze składowymi prędkości wzdłuż każdej osi, a także wymiary związane z drganiami cząsteczki, jej obrotami w przestrzeni, jak i obrotami składowych elementów cząstki wokół osi wiązania, otrzymujemy zestaw wymiarów w przestrzeni rzędu 1024 – 1025.
Przestrzeń stanów w fizyce klasycznej
W fizyce klasycznej ze znajomości położenia i prędkości układu można wyliczyć stan układu w dowolnej chwili w przyszłości i przeszłości. Oznacza to, że ewolucja układu jest w pełni zdeterminowana. Ruchowi takiego układu odpowiada w przestrzeni fazowej trajektoria złożona z kolejnych stanów, jakie układ zajmował lub będzie zajmował z upływem czasu. Z kształtu trajektorii można poznać różne własności układu, co jest szczególnie przydatne w analizie układów złożonych. Własnością trajektorii deterministycznych jest, że wzajemnie się nie przecinają.
Gdy stan układu jest opisany za pomocą współrzędnych położenia i prędkości, to trajektorie w przestrzeni fazowej spełniają twierdzenie Liouville’a, mówiące że objętość dowolnego regionu przestrzeni nie zmienia się w trakcie jego ewolucji (o ile nie następują straty energii).
W termodynamice i mechanice statystycznej opisywanie położenia i prędkości każdej cząstki jest niewykonalne, dlatego używa się przestrzeni definiowanej przez makroskopowe parametry układu, takie jak ciśnienie i temperatura. Punkt takiej przestrzeni określa się jako makrostan.
Przestrzeń fazowa w fizyce kwantowej
W fizyce kwantowej w ujęciu kopenhaskim nie przypisuje się układom fizycznym żadnych trajektorii, co prowadzi do paradoksu pomiaru.
W teorii fali pilotującej de Broglie’a-Bohma układom kwantowym przypisuje się trajektorie deterministyczne: trajektorie te różnią się od trajektorii przewidywanych przez fizykę klasyczną wtedy, gdy pojawiają się efekty kwantowe, takie jak interferencja.
Zobacz też
- atraktor
- chaos deterministyczny
- dynamika molekularna
- płaszczyzna fazowa
- przestrzeń konfiguracyjna
- rozmaitość symplektyczna
- układ dynamiczny
- układ Lorenza
- wiązka kostyczna
Przypisy
- ↑ przestrzeń fazowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-01-05] .
Bibliografia
- G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 429–487.
- Wojciech Królikowski, Wojciech Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
- F. Reif, Fizyka statystyczna, Warszawa: PWN, 1973.
- DSDE: faserum