Przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym

W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle -,\cdot \rangle }$ funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele ${\displaystyle F}$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały

${\displaystyle E_{x}\colon U\ni x\mapsto f(x)\in F}$

są ciągłe, tzn. dla każdego ${\displaystyle x\in U}$ istnieje taka stała ${\displaystyle C_{x},}$ że

${\displaystyle |f(x)|\leqslant C_{x}||f||=C_{x}{\sqrt {\langle {\overline {f}},f\rangle }},}$

gdzie stała ${\displaystyle C_{x}}$ nie zależy of wyboru funkcji ${\displaystyle f.}$

Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ w przestrzeni Hilberta „leżą blisko siebie” w normie, tzn. ${\displaystyle \|f-g\|}$ jest małe, to ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ są również „punktowo bliskie”, tj. ${\displaystyle |f(x)-g(x)|}$ jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa.

Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego ${\displaystyle E_{x}}$ istnieje takie ${\displaystyle {\overline {e_{x}}}\in {\mathcal {H}},}$ że

${\displaystyle \langle {\overline {e_{x}}}|f\rangle =f(x)}$

dla każdej funkcji ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}.}$

Funkcję ${\displaystyle K\colon U\times U\to F}$ określoną w następujący sposób:

${\displaystyle K(x,y):=e_{x}(y)}$

nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$ Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi

${\displaystyle \langle {\overline {K(x,\cdot )}},f(\cdot )\rangle =f(x)}$

dla każdych ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}},x\in U}$^[1].

Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.

Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń ${\displaystyle L^{2}(U)}$ nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu ${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$ w punkcie ${\displaystyle x\in U}$ nie ma sensu.

Przestrzeń Hilberta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ z naturalnym iloczynem skalarnym

${\displaystyle \langle v|w\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {v_{i}}}w_{i}}$

dla ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}),w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})}$

może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ o wartościach w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} }$ odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące

${\displaystyle K(x,y)=\delta _{x}(y),}$

gdzie:

${\displaystyle \delta _{x}(y)=\left\{{\begin{array}{c}1,&x=y\\0,&x\neq y\end{array}}\right..}$

Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń ${\displaystyle L^{2}H(U)}$ składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}.}$ Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli ${\displaystyle U}$ jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ to jądro Bergmana przestrzeni ${\displaystyle L^{2}H(U)}$ wyraża się wzorem

${\displaystyle K(x,y)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-x{\overline {y}})^{2}}}}$^[1].

Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe^[2][3].