Przestrzeń ściśle wypukła

Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana ${\displaystyle X}$ o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni ${\displaystyle X}$ ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:

• ${\displaystyle X}$ jest ściśle wypukła,
• jeżeli ${\displaystyle x\neq y}$ są elementami sfery jednostkowej przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle \|x+y\|<2.}$
• jeżeli ${\displaystyle x\neq y}$ są elementami sfery jednostkowej przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle \|\alpha x+(1-\alpha )y\|<1}$ dla wszelkich ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$
• jeżeli ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ są niezerowymi elementami przestrzeni ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|,}$ to ${\displaystyle x=cy}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle c}$^[1].

• Przestrzeń c₀ nie jest ściśle wypukła, gdyż dla ${\displaystyle x=(1,1,0,0,\dots ),}$ ${\displaystyle y=(1,0,0,\dots ),}$ ${\displaystyle \|x+y\|=2=\|x\|+\|y\|,}$ jednak ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ nie są liniowo zależne^[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa ${\displaystyle K}$ ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych ${\displaystyle C(K)}$ nie jest ściśle wypukła^[2].
• Dla ${\displaystyle p\in [1,\infty ],}$ przestrzeń ℓ_p (bądź ${\displaystyle L_{p}[0,1]}$) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p\in (1,\infty ).}$ (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).

• Jeżeli ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią ściśle wypukłą, a ${\displaystyle X}$ jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy ${\displaystyle T\colon X\to Y,}$ to wzór ${\displaystyle \|x\|_{T}=\|x\|+\|Tx\|(x\in X)}$ określa normę równoważną w ${\displaystyle X,}$ która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X}$ można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy ${\displaystyle T\colon X\to \ell _{2}.}$
• Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego ${\displaystyle \Gamma }$ przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }(\Gamma )}$ wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na ${\displaystyle \Gamma }$ nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }(\Gamma ),}$) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych^[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w ${\displaystyle c_{0}(\Gamma )}$ istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG ${\displaystyle X}$ istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy ${\displaystyle T\colon X\to c_{0}(\Gamma )}$ dla pewnego zbioru ${\displaystyle \Gamma }$^[4]. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
• Operator ${\displaystyle T\colon \ell _{\infty }\to \ell _{2}}$ dany wzorem ${\displaystyle T(x_{n})=(x_{n}\cdot n^{-1})}$ jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej ${\displaystyle \ell _{\infty }/c_{0}}$ nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej^[5].

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183. Brak numerów stron w książce