Progresywna mierzalność – własność procesu stochastycznego, która jest silniejsza od adaptowania procesu do danej filtracji.
Definicja
Niech
będzie przestrzenią probabilistyczną;
będzie przestrzenią mierzalną;
będzie procesem stochastycznym (gdzie
itp.);
będzie ustaloną filtracją (tj. niemalejącą rodziną pod-σ-algebr σ-algebry
);
oznacza algebrę zbiorów borelowskich na ![{\displaystyle [0,t]\cap T.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654d0bafe51c8a3f6da7b24aff12fb15a393b60f)
Proces
nazywany jest progresywnie mierzalnym względem filtracji
gdy dla każdego
odwzorowanie
![{\displaystyle [0,t]\cap T\times \Omega \to U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f621c897d72f53299706c57816bddf9501058f9)
określone wzorem
![{\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3c10c78f7f88c6c2ffde3d51200a853e175bf5)
jest mierzalne względem σ-algebry produktowej
[1].
W szczególności, proces
jest adaptowany do filtracji
Zbiory progresywnie mierzalne
Podzbiór
jest progresywnie mierzalny, gdy proces
![{\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b3c5cefe947d7895356ba1e8a4994c8bcfbbb)
jest progresywnie mierzalny (zob. funkcja charakterystyczna zbioru). Zbiór progresywnie mierzalnych podzbiorów
tworzy σ-algebrę.
Własności
- Niech
będzie ruchem Browna. Przestrzeń tych procesów stochastycznych
dla których całka Itō
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9610697eb5c241754d8b8befe75b091e9db3cfb0)
- względem
jest zdefiniowana, jest tożsama z rodziną (klas abstrakcji) procesów stochastycznych należących do przestrzeni Lebesgue’a ![{\displaystyle L^{2}([0,t_{0}]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/608415bd81e294bcd7b36a89bbaef456974963fd)
Przypisy
Bibliografia
- Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Springer, Berlin 2011.