Proces Bernoulliego

Proces Bernoulliego – proces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych X₁, X₂, X₃, ... takich że

• dla każdego i wartość X_i to a lub b (jedna z dwóch wartości, niektórzy autorzy przyjmują, że a = 1, b = 0)
• dla każdego i prawdopodobieństwo, że X_i = a jest stałe i równe p.

Jest to proces stacjonarny jak i ergodyczny.

Pojedynczą zmienną losową X_i określa się mianem próby Bernoulliego. Proces Bernoulliego jest ściśle związany z następującymi rozkładami prawdopodobieństwa:

• rozkład dwumianowy
• ujemny rozkład dwumianowy
• rozkład geometryczny (specjalny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego).

Uogólnienie procesu Bernoulliego dopuszczające N możliwych wartości zmiennych losowych ${\displaystyle X_{i}}$ nazywane jest schematem Bernoulliego. Definiowany jest on jako proces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{3},\dots ,}$ takich że:

• dla każdego ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{i}}$ przyjmuje jedną z wartości ${\displaystyle n_{1},}$ ${\displaystyle n_{2},\dots ,}$ ${\displaystyle n_{N}}$
• dla każdych ${\displaystyle i,j}$ prawdopodobieństwo, że ${\displaystyle X_{i}=n_{j}}$ jest stałe i równe ${\displaystyle p_{j}}$ oraz ${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}p_{j}=1.}$

W Annals of Mathemathics nr (3) 2014 ukazała się praca Witolda Bednorza i Rafała Latały "On the boundedness of Bernoulli processes", gdzie autorzy udowodnili tzw. hipotezę Bernoulliego, sformułowaną ok. 25 lat temu przez Michela Talagranda i mówiącą, że istnieją zasadniczo tylko dwa sposoby szacowania supremum procesu Bernoulliego. Jeden sposób polega na ograniczeniu jednostajnym i brutalnym dostawieniu modułów, drugi zaś na szacowaniu przez supremum dominującego procesu gaussowskiego. Za dowód hipotezy autorzy odebrali nagrodę w wys. 5000 USD, ufundowaną przez Talagranda, który na swojej stronie pisze "Their proof is simply stunningly beautiful"^[1].