Prawo Biota-Savarta
Prawo Biota-Savarta – prawo stosowane w elektromagnetyzmie i dynamice płynów. Pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, której źródłem jest element przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny[1]. Oryginalna wersja została sformułowana dla pola magnetycznego.
W elektromagnetyzmie
Wyprowadzenie
Prawo Biota-Savarta dla pola magnetycznego można wyprowadzić z równań Maxwella lub z prawa Gaussa dla elektryczności i równań transformacji relatywistycznej pól elektrycznych i magnetycznych w szczególnej teorii względności[2][3]:
Połączenie powyższych wzorów określa pole magnetyczne wytwarzane przez poruszający się ładunek punktowy, co odpowiada polu wytwarzanemu przez prąd płynący w nieskończenie cienkim i krótkim przewodniku:
gdzie:
- – punktowy ładunek elektryczny,
- – prędkość ładunku
Przyczynek do pola indukcji magnetycznej w danym punkcie A od elementu długości przewodnika z prądem o natężeniu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Biot_Savart.svg/300px-Biot_Savart.svg.png)
gdzie:
- (zob. Przenikalność magnetyczna),
- – natężenie prądu, wyrażone w amperach,
- – skierowany element przewodnika; wektor o kierunku przewodnika, zwrocie odpowiadającym kierunkowi prądu i długości równej długości elementu przewodnika,
- – wersor dla punktów wytwarzającego pole (elementu przewodnika) i miejsca pola,
- – odległość elementu przewodnika od punktu pola.
Inna postać wzoru:
gdzie to wektor wodzący o początku w źródle pola i końcu w rozważanym punkcie przestrzeni. Wartość indukcji magnetycznej może być obliczona ze wzoru
Przewodnik prostoliniowy
Niech przez prostoliniowy przewodnik o nieskończonej długości płynie prąd o natężeniu Zapiszmy skalarną postać przyczynku do pola indukcji magnetycznej:
Ze wzoru tego można wyprowadzić prawo Grassmanna.
Nieskończony przewód można myślowo podzielić na dwa fragmenty. Górna „połowa” od wycinka przewodu do nieskończoności oraz dolna „połowa” w zakresie od minus nieskończoności do 0. Bez dowodu przyjmujemy, że obie „połowy” są sobie równe.
Aby otrzymać wartość indukcji magnetycznej w odległości od przewodnika o natężeniu całkujemy skalarny przyczynek do indukcji magnetycznej.
nie są niezależne, w związku z czym do obliczenia powyższej całki należy poszukać zależności, które je łączą.
Studiując ilustrację zawartą w artykule, można, wprowadzając zmienną będącą najkrótszą odległością do przewodu, wypisać następujące związki:
Podstawiając powyższe zależności do całki, otrzymujemy ostateczną postać wzoru na indukcję magnetyczną:
Wzór ten jest słuszny w małej odległości od przewodnika lub w dowolnej odległości dla nieskończenie długiego przewodnika.
Przewodnik kołowy
W przypadku przewodnika o innej geometrii indukcję pola magnetycznego w dowolnym punkcie przestrzeni można otrzymać, całkując wzór Biota-Savarta po całej długości przewodnika. Na przykład w środku przewodnika kołowego o promieniu w próżni indukcję określa wzór:
Rozciągły obszar z prądem
Wyżej przytoczony wzór jest prawdziwy dla cienkich przewodników z prądem, dla obszarów w których płynie prąd w dużych objętościach wzór przyjmuje postać:
gdzie:
Poruszający się ładunek
gdzie:
- – przyczynek ładunku elektrycznego,
- – prędkość ładunku.
Pole w danym punkcie
Całkowitą indukcję magnetyczną wyznacza się, całkując różniczkowe elementy indukcji wzdłuż całego przewodnika – w pierwszym wzorze, a w całym obszarze, w którym płynie prąd, w drugim wzorze.
Wnioski
Wzór Biota-Savarta umożliwia obliczenie indukcji magnetycznej, gdy znane jest natężenie prądu, który jest źródłem pola magnetycznego (punkty tego pola są scharakteryzowane przez wektor indukcji, a wartość tego wektora określa wzór Biota-Savarta).
Wszystkie przyczynki do wektora indukcji pochodzące od elementów przewodnika mają w danym punkcie taki sam kierunek, który jest prostopadły do płaszczyzny, w której leży przewodnik i analizowany punkt. Dlatego linie pola magnetycznego mają kształt okręgów leżących w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika, środkami których jest przewodnik.
W mechanice płynów
Prawo Biota-Savarta ma swój odpowiednik mechanice płynów i określa przyczynek do prędkości płynu wytwarzanej (indukowanej) przez element strugi wirowej. Analogia obejmuje związki:
- przewodnik elektryczny – struga wirowa,
- natężenie prądu – cyrkulacja strugi,
- wytwarzane pole magnetyczne – uzyskiwana prędkość płynu.
Prawo można sformułować w postaci:
Prędkość indukowana w wybranym punkcie A płynu przez element strugi wirowej o długości określa wzór:
gdzie:
- – cyrkulacja strugi.
Na podstawie tego wzoru można obliczyć, jak wir wpływa na rozkład prędkości wokół niego. Przykładowo, długa prostoliniowa struga wytwarza (zmienia) prędkość płynu:
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Biota–Savarta prawo, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-23] .
- ↑ Pole magnetyczne. [dostęp 2016-06-10].
- ↑ Jak wyprowadzić magnetyzm z prawem Biota-Savarta z prawa Coulomba i relatywistyki? (z inżynierskim podejściem do transformacji relatywistycznych). [dostęp 2017-06-13]. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-04-06)].
- GND: 4772813-9
- PWN: 3877894
- Britannica: science/Biot-Savart-law
- БРЭ: 1866513, 1866509
- SNL: Biot–Savarts_lov