Podprzestrzeń komplementarna

Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle X}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle E}$ o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle Y,}$ iż

${\displaystyle E=X\oplus Y,}$

tj. ${\displaystyle X+Y=E}$ oraz ${\displaystyle X\cap Y=\{0\}.}$ Rozkład przestrzeni ${\displaystyle E}$ na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń ${\displaystyle X}$ przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle E}$ jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego ${\displaystyle P\colon E\to E}$ spełniającego warunek ${\displaystyle P^{2}=P}$ (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$ oraz ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle X}$ przestrzeni ${\displaystyle E}$ jest ${\displaystyle \lambda }$-komplementarna, gdy istnieje rzut ${\displaystyle P\colon E\to E}$ o normie ${\displaystyle \leqslant \lambda .}$

• Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna.
• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha, której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta^[1].
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli ${\displaystyle E}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz ${\displaystyle X}$ jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c₀, to ${\displaystyle X}$ jest 2-komplementarna w ${\displaystyle E.}$ Stałej 2 nie można poprawić.
• Phillips i Sobczyk pokazali niezależnie^[2][3], że żadna podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ izomorficzna z ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest komplementarna.
• W przestrzeniach ℓ_p dla ${\displaystyle p\in [1,2)\cup (2,\infty )}$ istnieją podprzestrzenie izomorficzne z ${\displaystyle \ell _{p},}$ które nie są komplementarne^[4][5][6].
• Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy Schaudera^[7].
• W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }]}$ na liczbie porządkowej ${\displaystyle \omega ^{\omega }+1}$ istnieje podprzestrzeń izomorficzna z ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }],}$ która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu ${\displaystyle C(K),}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że ${\displaystyle C(K)}$ nie jest izomorficzne z ${\displaystyle c_{0}}$ (w tym wypadku ${\displaystyle C(K)}$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle C[0,\omega ^{\omega }]}$).