Płaty Béziera
Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.
Prostokątne płaty powierzchni Béziera
Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):
Płat jest stopnia względem parametru i stopnia względem parametru
Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – to punkt w -tym wierszu i -tej kolumnie tej tablicy.
Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli – albo – ).
Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie nazywana jest wierszem, o stałym indeksie – kolumną.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/B%C3%A9zier_surface_example.svg/410px-B%C3%A9zier_surface_example.svg.png)
Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:
- dla
gdzie:
- – wielomiany bazowe Bernsteina.
W praktyce obliczenie punktu przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:
Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru znajduje się szukany punkt.
Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.
Trójkątne płaty Béziera
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Bezier_triangle.png/300px-Bezier_triangle.png)
Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych
Zmienne przy założeniu, że są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty
Punkt płata trójkątnego stopnia dany jest wzorem:
gdzie:
Sumowanie przebiega po wszystkich spełniających warunek
Do określenia płata stopnia potrzebne jest punktów kontrolnych.
Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.
Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.
Zobacz też
- krzywa B-sklejana