Płaty Béziera

Płaty Béziera – powierzchnie parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym, uogólnienie krzywych Béziera.

Prostokątne płaty powierzchni Béziera (rzadziej płaty tensorowe) są funkcjami dwóch zmiennych ${\displaystyle u,v}$ odwzorowującymi kwadrat jednostkowy w przestrzeń k-wymiarową (3, 4, rzadziej więcej wymiarów):

${\displaystyle [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{k}.}$

Płat jest stopnia ${\displaystyle n}$ względem parametru ${\displaystyle u}$ i stopnia ${\displaystyle m}$ względem parametru ${\displaystyle v.}$

Kształt powierzchni, podobnie jak w przypadku krzywych Béziera, kontroluje się za pomocą punktów kontrolnych; aby opisać płat stopnia ${\displaystyle (n,m)}$ potrzebne jest ${\displaystyle (n+1)\cdot (m+1)}$ punktów kontrolnych dla wygody zapisanych w tablicy dwuwymiarowej – ${\displaystyle p_{ij}}$ to punkt w ${\displaystyle i}$-tym wierszu i ${\displaystyle j}$-tej kolumnie tej tablicy.

Analogicznie do łamanej kontrolnej krzywej, dla płatów używa się określenia siatki kontrolnej, którą jest zbiór linii łączących sąsiednie punkty kontrolne (sąsiednie, czyli ${\displaystyle p_{ij}}$ – ${\displaystyle p_{i(j+1)},}$ albo ${\displaystyle p_{ij}}$ – ${\displaystyle p_{(i+1)j}}$).

Łamana, której wierzchołkami są punkty kontrolne o stałym indeksie ${\displaystyle i}$ nazywana jest wierszem, o stałym indeksie ${\displaystyle j}$ – kolumną.

Dowolny punkt na powierzchni oblicza się zgodnie ze wzorem:

${\displaystyle p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{i}^{n}(u)B_{j}^{m}(v)}$ dla ${\displaystyle u,v\in [0,1],}$

gdzie:

${\displaystyle B_{i}^{n},}$ ${\displaystyle B_{j}^{m}}$ – wielomiany bazowe Bernsteina.

W praktyce obliczenie punktu ${\displaystyle p(u,v)}$ przeprowadza się zgodnie z jednym ze schematów:

• ${\displaystyle p(u,v)=\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{j=0}^{m}p_{ij}B_{j}^{m}(v)\right)B_{i}^{n}(u),}$
• ${\displaystyle p(u,v)=\sum _{j=0}^{m}\left(\sum _{i=0}^{n}p_{ij}B_{i}^{n}(u)\right)B_{j}^{m}(v).}$

Najpierw wyznaczane są punkty leżące na krzywych Béziera określonych na wierszach (kolumnach) siatki dla parametru ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (v).}$ Te punkty są z kolei brane jako ciąg punktów kontrolnych krzywej Béziera, na której dla parametru ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (u)}$ znajduje się szukany punkt.

Można również użyć wariantu dwu- lub więcej wymiarowego algorytmu de Casteljau.

Trójkątne płaty Béziera to funkcje odwzorowujące trójkątny obszar w przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Wykorzystuje się tutaj wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych ${\displaystyle B_{ijk}^{n}(r,s,t).}$

Zmienne ${\displaystyle r,s,t}$ przy założeniu, że ${\displaystyle r+s+t=1}$ ${\displaystyle (r,s,t\in [0,1])}$ są współrzędnymi barycentrycznymi na płaszczyźnie – te trzy liczby jednoznacznie określają punkt w trójkącie, którego wierzchołkami są punkty ${\displaystyle (r=1,s=0,t=0),(r=0,s=1,t=0),(r=0,s=0,t=1).}$

Punkt płata trójkątnego stopnia ${\displaystyle n}$ dany jest wzorem:

${\displaystyle p(r,s,t)=\sum p_{ijk}B_{ijk}^{n}(r,s,t),}$

gdzie:

${\displaystyle i,j,k\geqslant 0,}$

${\displaystyle i,j,k=0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle i+j+k=n.}$

Sumowanie przebiega po wszystkich ${\displaystyle i,j,k}$ spełniających warunek ${\displaystyle i+j+k=n.}$

Do określenia płata stopnia ${\displaystyle n}$ potrzebne jest ${\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ punktów kontrolnych.

Analogicznie jak w przypadku płatów prostokątnych tutaj również mamy do czynienia z siatką kontrolną. Wierszem w siatce nazywamy łamaną, której wierzchołkami są punkty kontrolne o jednym stałym indeksie.

Również dla płatów trójkątnych istnieje wariant algorytmu de Casteljau.

• krzywa B-sklejana