Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda

Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda – nierówność nosząca nazwiska Józefa Marcinkiewicza i Antoniego Zygmunda opisująca związek między momentami ciągu niezależnych zmiennych losowych. Jest ona uogólnieniem wzoru na sumę wariancji niezależnych zmiennych losowych na momenty dowolnego rzędu, z drugiej strony istnieją generalizacje tej nierówności na ogólniejsze symetryczne statystyki niezależnych^[1], poprawiano również stałe^[2][3] i rozpatrywano zależne zmienne losowe^[4][5][6].

Jeśli ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,\dots ,n)}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej, ${\displaystyle \mathbb {E} X_{i}=0,}$ i skończonych momentach do ${\displaystyle p}$-tego włącznie, ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{i}|^{p}<+\infty }$ dla ${\displaystyle 1\leqslant p<+\infty ,}$ to

${\displaystyle A_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}}\leqslant \mathbb {E} \left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right|^{p}\leqslant B_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle A_{p}}$ oraz ${\displaystyle B_{p}}$ są dodatnimi stałymi zależącymi wyłącznie od ${\displaystyle p}$^[7][8].