Miara martyngałowa

Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) – jedno z podstawowych pojęć z zakresu matematyki finansowej. Używa się go do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.

Niech ${\displaystyle B_{t}}$ oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie ${\displaystyle t,}$ a ${\displaystyle V_{t}}$ cenę instrumentu o wypłacie ${\displaystyle X}$ zapadającego w chwili ${\displaystyle T.}$ Miarą martyngałową ${\displaystyle P^{*}}$ nazywamy taką miarę probabilistyczną, że:

1. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{*}\sim \mathbb {P} }$ (miara jest równoważna rzeczywistej mierze),
2. ${\displaystyle V_{t}=\operatorname {E} _{P^{*}}\left({\frac {B_{t}}{B_{T}}}X|{\mathcal {F}}_{t}\right).}$

Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych ${\displaystyle S_{t}}$ jest równoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.

Dla jednookresowego modelu CRR o własności ${\displaystyle S_{1}=S_{o}U,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ przyjmuje wartości ${\displaystyle 1+a}$ oraz ${\displaystyle 1+b,}$ a ${\displaystyle B_{t}=1+r}$ miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle \mathbb {P} (U=1+a)={\frac {b-r}{b-a}},}$

${\displaystyle \mathbb {P} (U=1+b)={\frac {r-a}{b-a}}.}$

Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową ${\displaystyle r\in (\min\{a,b\},\max\{a,b\}).}$

Dla ${\displaystyle n}$-okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(S_{n}=S_{0}(1+a)^{k}(1+b)^{n-k}\right)={\binom {n}{k}}{\frac {(b-r)^{k}(r-a)^{n-k}}{(b-a)^{n}}}.}$

W klasycznym modelu Blacka-Scholesa miarą martyngałową ${\displaystyle P^{*}}$ określa równanie:

${\displaystyle d\mathbb {P^{*}} =exp\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}W_{T}-{\frac {T}{2}}\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)d\mathbb {P} ,}$

gdzie:

${\displaystyle \mu }$ – współczynnik dryfu,

${\displaystyle \sigma }$ – współczynnik zmienności,

${\displaystyle r}$ – bezryzykowna stopa procentowa.

Proces

${\displaystyle W_{t}^{B-S}=W_{t}-{\frac {r-\mu }{\sigma }}t}$

jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.

Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.

• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: SCRIPT, 2006. ISBN 83-89716-06-2. Brak numerów stron w książce