Wzory i definicje Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako[1] :
κ = lim Δ S → 0 | Δ φ | Δ S = | d φ d S | . {\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {|\Delta \varphi |}{\Delta S}}=\left|{\frac {d\varphi }{dS}}\right|.} Natomiast krzywiznę ze znakiem:
κ = lim Δ S → 0 Δ φ Δ S = d φ d S , {\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta S}}={\frac {d\varphi }{dS}},} gdzie Δ φ {\displaystyle \Delta \varphi } jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a Δ S {\displaystyle \Delta S} długością tego łuku .
Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.
Wzory na krzywiznę κ {\displaystyle \kappa } w punkcie P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0})} są następujące[2] :
κ = | y 0 ″ | ( 1 + y 0 ′ 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|y''_{0}|}{(1+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.} Dla krzywej określonej parametrycznie x = p ( t ) , y = q ( t ) {\displaystyle x=p(t),y=q(t)} w układzie kartezjańskim: κ = | y 0 ″ x 0 ′ − x 0 ″ y 0 ′ | ( x 0 ′ 2 + y 0 ′ 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|y''_{0}x'_{0}-x''_{0}y'_{0}|}{({x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.} Dla krzywej określonej funkcją r = f ( φ ) {\displaystyle r=f(\varphi )} w układzie biegunowym : κ = | r 0 2 + 2 r 0 ′ 2 − r 0 r 0 ″ | ( r 0 2 + r 0 ′ 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {|{r_{0}}^{2}+2{r'_{0}}^{2}-r_{0}r''_{0}|}{({r_{0}}^{2}+{r'_{0}}^{2})^{3/2}}}.} Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie P {\displaystyle P} nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:
R = 1 κ . {\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}.} Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0})} nazywamy punkt S ( ξ , η ) , {\displaystyle S(\xi ,\eta ),} leżący na normalnej do krzywej w punkcie P {\displaystyle P} po stronie jej wklęsłości w odległości od P {\displaystyle P} równej promieniowi krzywizny.
Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie P {\displaystyle P} krzywej są następujące:
Dla krzywej o równaniu y = f ( x ) : {\displaystyle y=f(x){:}} ξ = x 0 − y 0 ′ 1 + y 0 ′ 2 y 0 ″ , {\displaystyle \xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}},} η = y 0 + 1 + y 0 ′ 2 y 0 ″ . {\displaystyle \eta =y_{0}+{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}}.} Dla krzywej o równaniach x = p ( t ) , y = q ( t ) : {\displaystyle x=p(t),y=q(t){:}} ξ = x 0 − y 0 ′ x 0 ′ 2 + y 0 ′ 2 y 0 ″ x 0 ′ − y 0 ′ x 0 ″ , {\displaystyle \xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}},} η = y 0 + x 0 ′ x 0 ′ 2 + y 0 ′ 2 y 0 ″ x 0 ′ − y 0 ′ x 0 ″ . {\displaystyle \eta =y_{0}+x'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}}.}
Dowód Krzywizna krzywej y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} w punkcie C = ( x C , y C ) {\displaystyle C=(x_{C},y_{C})} jest równa granicy ilorazu kąta φ {\displaystyle \varphi } pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach C {\displaystyle C} i B = ( x B , y B ) {\displaystyle B=(x_{B},y_{B})} a długością łuku L {\displaystyle L} między C {\displaystyle C} a B , {\displaystyle B,} gdy B → C : {\displaystyle B\to C{:}}
κ = lim B → C φ L . {\displaystyle \kappa =\lim \limits _{B\to C}{\frac {\varphi }{L}}.} Kąt φ {\displaystyle \varphi } można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:
φ = arctg ( f ′ ( x B ) ) − arctg ( f ′ ( x C ) ) . {\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})).} Natomiast długość łuku L {\displaystyle L} jako całkę oznaczoną:
L = ∫ x C x B f ′ ( t ) 2 + 1 d t . {\displaystyle L=\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt.} Wtedy, zważając na to, że B → C ⟺ x B → x C : {\displaystyle B\to C\iff x_{B}\to x_{C}{:}}
κ = lim x B → x C arctg ( f ′ ( x B ) − arctg ( f ′ ( x C ) ) ∫ x C x B f ′ ( t ) 2 + 1 d t . {\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {\operatorname {arctg} (f'(x_{B})-\operatorname {arctg} (f'(x_{C}))}{\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.} Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym 0 0 , {\displaystyle {\frac {0}{0}},} dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala :
κ = lim x B → x C d d x B ( arctg ( f ′ ( x B ) ) − arctg ( f ′ ( x C ) ) ) d d x B ∫ x C x B f ′ ( t ) 2 + 1 d t . {\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {{\frac {d}{dx_{B}}}(\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})))}{{\frac {d}{dx_{B}}}\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.} Pochodna d d x arctg ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} (x)} jest równa 1 x 2 + 1 , {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}},} natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego , mamy:
κ = lim x B → x C f ″ ( x B ) f ′ ( x B ) 2 + 1 ⋅ 1 f ′ ( x B ) 2 + 1 = f ″ ( x C ) ( f ′ ( x C ) 2 + 1 ) 1 + 1 / 2 . {\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {f''(x_{B})}{f'(x_{B})^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {f'(x_{B})^{2}+1}}}={\frac {f''(x_{C})}{(f'(x_{C})^{2}+1)^{1+1/2}}}.} Dla funkcji uwikłanej F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} wystarczy zamienić f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} na d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} przez co wzór przyjmuje następującą postać:
κ = d 2 y d x 2 ( ( d y d x ) 2 + 1 ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left(\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1\right)^{3/2}}}.} Jest wtedy jednak zależny zarówno od x , {\displaystyle x,} jak i y . {\displaystyle y.}
Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.
Inny dowód
Krzywa dana w sposób jawny Promień ρ {\displaystyle \rho } krzywizny krzywej Dana jest krzywa płaska[2] o równaniu y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} i ciągłych pochodnych y ( x ) ′ , y ( x ) ″ . {\displaystyle y(x)',y(x)''.} Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty P ( x o , y o ) {\displaystyle P(x_{o},y_{o})} i Q ( x 1 , y 1 ) . {\displaystyle Q(x_{1},y_{1}).} Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami
y − f ( x o ) = f ′ ( x o ) ( x − x o ) , y − f ( x 1 ) = f ′ ( x 1 ) ( x − x 1 ) . {\displaystyle y-f(x_{o})=f'(x_{o})(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1}).} (a)
Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach P , Q , {\displaystyle P,\;Q,} zwane normalnymi , otrzymamy, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)
y − f ( x o ) = − 1 f ′ ( x o ) ( x − x o ) , y − f ( x 1 ) = − 1 f ′ ( x 1 ) ( x − x 1 ) . {\displaystyle y-f(x_{o})=-{\frac {1}{f'(x_{o})}}(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}(x-x_{1}).} (b)
Punkt S 1 ( x s , y s ) , {\displaystyle S_{1}(x_{s},y_{s}),} w którym przecinają się te normalne, otrzymamy, rozwiązując układ równań (b)
x s = x o − λ f ′ ( x o ) , {\displaystyle x_{s}=x_{o}-\lambda f'(x_{o}),} y s = y o + λ , {\displaystyle y_{s}=y_{o}+\lambda ,} gdzie:
λ = x 1 − x o + [ f ( x 1 ) − f ( x o ) ] f ′ ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) − f ′ ( x o ) . {\displaystyle \lambda ={\frac {x_{1}-x_{o}+[f(x_{1})-f(x_{o})]f'(x_{1})}{f'(x_{1})-f'(x_{o})}}.} Dzielimy teraz licznik i mianownik przez x 1 − x o {\displaystyle x_{1}-x_{o}} i po przejściu do granicy x 1 → x o {\displaystyle x_{1}\to x_{o}} (punkt S 1 ( x s , y s ) {\displaystyle S_{1}(x_{s},y_{s})} zmierza do punktu S o ( x ∗ , y ∗ ) {\displaystyle S_{o}(x_{*},y_{*})} ) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie P {\displaystyle P}
x ∗ = x o − λ ∗ f ′ ( x o ) , y ∗ = y o + λ ∗ , {\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}f'(x_{o}),\quad y^{*}=y_{o}+\lambda ^{*},} gdzie:
λ ∗ = 1 + [ f ′ ( x o ) ] 2 f ″ ( x o ) . {\displaystyle \lambda ^{*}={\frac {1+[f'(x_{o})]^{2}}{f''(x_{o})}}.} Promień krzywizny krzywej ρ {\displaystyle \rho } otrzymamy z równania
ρ 2 = ( x o − x ∗ ) 2 + ( y o − y ∗ ) 2 = ( λ ∗ f ′ ( x o ) ) 2 + λ ∗ 2 = λ ∗ 2 ( 1 + [ f ′ ( x o ) ] 2 ) = {\displaystyle \rho ^{2}=(x_{o}-x^{*})^{2}+(y_{o}-y^{*})^{2}=\left(\lambda ^{*}f'(x_{o})\right)^{2}+\lambda ^{*2}=\lambda ^{*2}\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)=} = ( 1 + [ f ′ ( x o ) ] 2 ) 3 [ f ″ ( x o ) ] 2 ⟶ ρ = ( 1 + [ f ′ ( x o ) ] 2 ) 3 2 | f ″ ( x o ) | . {\displaystyle ={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{3}}{[f''(x_{o})]^{2}}}\qquad \longrightarrow \qquad \rho ={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(x_{o})\right|}}.}
Krzywa opisana parametrycznie Przez dwa punkty P ( x o , y o ) , Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{o},y_{o}),\;Q(x_{1},y_{1})} krzywej[2] opisanej równaniami x = x ( t ) , y = y ( t ) {\displaystyle x=x(t),\;y=y(t)} przechodzi sieczna dana równaniem
y 1 − y o x 1 − x o = y − y o x − x o {\displaystyle {\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}\quad {}} lub y = y o = y 1 − y o x 1 − x o ( x − x o ) . {\displaystyle y=y_{o}={\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}(x-x_{o}).} Dzieląc licznik i mianownik przez t − t o {\displaystyle t-t_{o}} i przechodząc do granicy x 1 → x o , {\displaystyle x_{1}\to x_{o},} otrzymujemy
y − y o = y ˙ o x ˙ o ( x − x o ) , {\displaystyle y-y_{o}={\frac {{\dot {y}}_{o}}{{\dot {x}}_{o}}}(x-x_{o}),} gdzie x ˙ o , y ˙ o {\displaystyle {\dot {x}}_{o},\;{\dot {y}}_{o}} są pochodnymi względem parametru t {\displaystyle t} liczonymi w punkcie P . {\displaystyle P.}
Przez punkty P , Q {\displaystyle P,\;Q} poprowadzimy dwie normalne o równaniach
y − y o = − x ˙ o y ˙ o ( x − x o ) , y − y 1 = − x ˙ 1 y ˙ 1 ( x − x 1 ) . {\displaystyle y-y_{o}=-{\frac {{\dot {x}}_{o}}{{\dot {y}}_{o}}}(x-x_{o}),\qquad y-y_{1}=-{\frac {{\dot {x}}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}}(x-x_{1}).} Rozwiązaniem tych równań są współrzędne x s , y s {\displaystyle x_{s},\;y_{s}} punktu S 1 , {\displaystyle S_{1},} w którym przecinają się proste normalne
x s = x o − λ y ˙ o , y s = y o + λ x ˙ o , {\displaystyle x_{s}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y_{s}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},} gdzie:
λ = x ˙ 1 ( x 1 − x o ) + y ˙ 1 ( y 1 − y o ) x ˙ o ( y ˙ 1 − y ˙ o ) − y ˙ o ( x ˙ 1 − x ˙ o ) . {\displaystyle \lambda ={\frac {{\dot {x}}_{1}(x_{1}-x_{o})+{\dot {y}}_{1}(y_{1}-y_{o})}{{\dot {x}}_{o}({\dot {y}}_{1}-{\dot {y}}_{o})-{\dot {y}}_{o}({\dot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{o})}}.} Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez t 1 − t o {\displaystyle t_{1}-t_{o}} i po przejściu do granicy t → t o {\displaystyle t\to t_{o}} otrzymujemy współrzędne środka S o {\displaystyle S_{o}} krzywizny krzywej w jej punkcie P {\displaystyle P}
x ∗ = x o − λ y ˙ o , y ∗ = y o + λ x ˙ o , λ = x ˙ o 2 + y ˙ o 2 x ˙ o y ¨ o − y ˙ o x ¨ o . {\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y^{*}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},\qquad \lambda ={\frac {{\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}}{{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}}}.} Promień krzywizny ρ {\displaystyle \rho } równy jest odległości punktów P {\displaystyle P} i S o {\displaystyle S_{o}}
ρ 2 = ( x ∗ − x o ) 2 + ( y ∗ − y o ) 2 = λ 2 ( y o ′ 2 + x o ′ 2 ) , {\displaystyle \rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=\lambda ^{2}(y_{o}^{'2}+x_{o}^{'2}),} ρ = ( x ˙ o 2 + y ˙ o 2 ) 3 2 | x ˙ o y ¨ o − y ˙ o x ¨ o | . {\displaystyle \rho ={\frac {({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2})^{\frac {3}{2}}}{\left|{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}\right|}}.}
Krzywa jako funkcja uwikłana Dana jest krzywa[2] o równaniu F ( x , y ) = 0 , {\displaystyle F(x,y)=0,} gdzie F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu P ( x o , y o ) . {\displaystyle P(x_{o},y_{o}).}
Jeżeli F y ( x o , y o ) ≠ 0 , {\displaystyle F_{y}(x_{o},y_{o})\neq 0,} to w otoczeniu punktu P {\displaystyle P} można funkcji F {\displaystyle F} nadać postać y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),} gdzie f ( x o ) = y o {\displaystyle f(x_{o})=y_{o}} i mamy
f ′ ( x ) = − F x F y , f ″ ( x ) = − F x 2 F y y − 2 F x F y F x y + F y 2 F x x F y 3 = − Z F y 3 . {\displaystyle f^{'}(x)=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}},\qquad f^{''}(x)=-{\frac {F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}}{F_{y}^{3}}}=-\,{\frac {\mathrm {Z} }{F_{y}^{3}}}.} Równanie stycznej do krzywej y − y o = f ′ ( x o ) ( x − x o ) {\displaystyle y-y_{o}=f^{'}(x_{o})(x-x_{o})} przybiera teraz postać
F x ( x o , y o ) ( x − x o ) + F y ( x o , y o ) ( y − y o ) , {\displaystyle F_{x}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})+F_{y}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),} a równania normalnych w punktach P ( x o , y o ) , Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P(x_{o},y_{o}),\,Q(x_{1},\,y_{1})}
F y ( x o , y o ) ( x − x o ) − F x ( x o , y o ) ( y − y o ) , {\displaystyle F_{y}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})-F_{x}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),} F y ( x 1 , y 1 ) ( x − x 1 ) − F x ( x 1 , y 1 ) ( y − y 1 ) . {\displaystyle F_{y}(x_{1},y_{1})(x-x_{1})-F_{x}(x_{1},y_{1})(y-y_{1}).} Po wprowadzeniu oznaczeń F x ( x o , y o ) = F x o , F y ( x o , y o ) = F y o , F x ( x 1 , y 1 ) = F x 1 , F y ( x 1 , y 1 ) = F y 1 {\displaystyle F_{x}(x_{o},y_{o})=F_{xo},\;\;F_{y}(x_{o},y_{o})=F_{yo},\;\;F_{x}(x_{1},y_{1})=F_{x1},\;\;F_{y}(x_{1},y_{1})=F_{y1}}
rozwiązanie tych równań ma postać
x = x o − λ F o x , y = y o − λ F o y , {\displaystyle x=x_{o}-\lambda F_{ox},\qquad y=y_{o}-\lambda F_{oy},} λ = F x 1 ( y 1 − y o ) − F y 1 ( x 1 − x o ) F y o ( F x 1 − F x o ) − F x o ( F y 1 − F y o ) . {\displaystyle \lambda ={\frac {F_{x1}(y_{1}-y_{o})-F_{y1}(x_{1}-x_{o})}{F_{yo}(F_{x1}-F_{xo})-F_{xo}(F_{y1}-F_{yo})}}.} Po przejściu do granicy Q → P , {\displaystyle Q\to P,} otrzymujemy
x ∗ = x o − λ ∗ F o x , y ∗ = y o − λ ∗ F o y , {\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}F_{ox},\qquad y^{*}=y_{o}-\lambda ^{*}F_{oy},} gdzie:
λ ∗ = F x 2 + F y 2 Z , Z = F x 2 F y y − 2 F x F y F x y + F y 2 F x x . {\displaystyle \lambda ^{*}={\frac {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}{\mathrm {Z} }},\qquad \mathrm {Z} =F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}.} Promień krzywizny wyraża się wzorem
ρ 2 = ( x ∗ − x o ) 2 + ( y ∗ − y o ) 2 = ( λ ∗ F x ) 2 + ( λ ∗ F y ) 2 , {\displaystyle \rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=(\lambda ^{*}F_{x})^{2}+(\lambda ^{*}F_{y})^{2},} ρ = ( F x 2 + F y 2 ) 3 / 2 | Z | . {\displaystyle \rho ={\frac {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}{|\mathrm {Z} |}}.}
Przykłady Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:
x ( t ) = A sin ( a t + δ ) , y ( t ) = B sin ( b t ) . {\displaystyle x(t)=A\sin(at+\delta ),\quad y(t)=B\sin(bt).} Wartości poszczególnych pochodnych:
x ′ ( t ) = A a cos ( a t + δ ) , {\displaystyle x'(t)=Aa\cos(at+\delta ),} y ′ ( t ) = B b cos ( b t ) , {\displaystyle y'(t)=Bb\cos(bt),} x ″ ( t ) = − A a 2 sin ( a t + δ ) , {\displaystyle x''(t)=-Aa^{2}\sin(at+\delta ),} y ″ ( t ) = − B b 2 sin ( b t ) . {\displaystyle y''(t)=-Bb^{2}\sin(bt).} Krzywizna jako funkcja parametru t : {\displaystyle t{:}}
κ ( t ) = − B b 2 sin ( b t ) ⋅ A a cos ( a t + δ ) + A a 2 sin ( a t + δ ) ⋅ B b cos ( b t ) ( A 2 a 2 cos 2 ( a t + δ ) + B 2 b 2 cos 2 ( b t ) ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa (t)={\frac {-Bb^{2}\sin(bt)\cdot Aa\cos(at+\delta )+Aa^{2}\sin(at+\delta )\cdot Bb\cos(bt)}{\left(A^{2}a^{2}\cos ^{2}(at+\delta )+B^{2}b^{2}\cos ^{2}(bt)\right)^{3/2}}}.} W szczególności dla okręgu A = B = r , a = b = 1 , δ = π 2 , {\displaystyle A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},} krzywizna nie zależy od parametru t : {\displaystyle t{:}}
κ ( t ) = − r sin ( t ) ⋅ ( − r sin ( t ) ) + r cos ( t ) ⋅ r cos ( t ) ( r 2 sin 2 ( t ) + r 2 cos 2 ( t ) ) 3 / 2 = r 2 r 3 = 1 r . {\displaystyle \kappa (t)={\frac {-r\sin(t)\cdot (-r\sin(t))+r\cos(t)\cdot r\cos(t)}{\left(r^{2}\sin ^{2}(t)+r^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {r^{2}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}.} Natomiast dla elipsy a = b = 1 , δ = π 2 , {\displaystyle a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},} krzywizna zależy od parametru t : {\displaystyle t{:}}
κ ( t ) = − B sin ( t ) ⋅ ( − A sin ( t ) ) + A cos ( t ) ⋅ B cos ( t ) ( A 2 sin 2 ( t ) + B 2 cos 2 ( t ) ) 3 / 2 = A B ( A 2 sin 2 ( t ) + B 2 cos 2 ( t ) ) 3 / 2 . {\displaystyle \kappa (t)={\frac {-B\sin(t)\cdot (-A\sin(t))+A\cos(t)\cdot B\cos(t)}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {AB}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}.} Uwaga W ogólnym przypadku A ≠ B , a ≠ b , δ ∈ R {\displaystyle A\neq B,\quad a\neq b,\quad \delta \in R} krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie t 1 , t 2 ∈ R , {\displaystyle t_{1},t_{2}\in R,} dla których x ( t 1 ) = x ( t 2 ) , y ( t 1 ) = y ( t 2 ) {\displaystyle x(t_{1})=x(t_{2}),\;\;y(t_{1})=y(t_{2})} ).
Zobacz też
Przypisy ↑ Krzywizna , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] . ↑ a b c d Franciszek Leja, Geometria analityczna , Państwowe Wydawnictwo Naukowe , Warszawa 1954. LCCN : sh85034911 GND : 4128765-4 NDL: 00567236 BNCF : 35521 J9U : 987007538479005171