Kowariancja,
– liczba określająca odchylenie elementów od sytuacji idealnej, w której występuje zależność liniowa. Zależność tę określa się między zmiennymi losowymi
i
Definicja
Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} {\big [}(X-\mathrm {E} X)\cdot (Y-\mathrm {E} Y){\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2398a277b66eb819bd48fd42de5801ce7f7d52c0)
Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b2996718d9b94614f1e7012d0397a32cb15048)
gdzie:
– wartość oczekiwana.
Interpretacja
Jeżeli między zmiennymi losowymi
i
nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).
Innymi słowy: zmienne losowe
i
są niezależne, a więc
![{\displaystyle \mathrm {E} (X\cdot Y)=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529c391f4f4a0b06f94f1a790ebeab3702fdcaa6)
zatem:
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84920bf0b2389f2c3fc0a4502f8fd7a0c40b1f12)
Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.
Na przykład jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale
a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:
![{\displaystyle X=\sin Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2828607d5e734ffb474cc981a70e029aabd3e4c)
![{\displaystyle Y=\cos Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb34d20143fffff20dcb24e778b7abf55742ac6)
to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy
Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej
Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {corr} (X,Y)\sigma _{X}\sigma _{Y},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06b87ec7e64193ca9313d2529c9943a2101329c)
gdzie:
– współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi
i ![{\displaystyle Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f)
– odchylenie standardowe zmiennej ![{\displaystyle X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df)
– odchylenie standardowe zmiennej ![{\displaystyle Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c668649af47a30006f93c9847d61fee8d9ffb61)
Zobacz też
| Zobacz hasło kowariancja w Wikisłowniku |
- korelacja
- kowariancja i kontrawariancja
- macierz kowariancji
- wariancja
Kontrola autorytatywna (rodzaj statystyki):
- GND: 4140520-1
- BNCF: 47720
Encyklopedie internetowe:
- Britannica: topic/covariance
- SNL: kovarians
- DSDE: kovarians