Jędrna rodzina miar

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, i niech ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie σ-algebrą na ${\displaystyle X}$ zawierającą topologię ${\displaystyle \tau }$ (czyli każdy podzbiór otwarty w ${\displaystyle X}$ jest mierzalny, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ może być σ-algebrą borelowską na ${\displaystyle X}$). Niech ${\displaystyle M}$ będzie rodziną miar określonych na ${\displaystyle {\mathfrak {M}}.}$

Rodzinę ${\displaystyle M}$ nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje zwarty podzbiór ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że dla wszystkich miar ${\displaystyle \mu \in M}$ zachodzi

${\displaystyle \mu (X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na ${\displaystyle X}$ jest jędrna.

Niech dana będzie prosta rzeczywista ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z topologią naturalną (euklidesową). Dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ niech ${\displaystyle \delta _{x}}$ oznacza miarę Diraca skupioną w ${\displaystyle x.}$ Wówczas rodzina

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}}$

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami ${\displaystyle \mathbb {R} }$ są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest ${\displaystyle \delta _{n}}$-miary zero dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n.}$ Z drugiej strony, rodzina

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}\colon n\in \mathbb {N} \}}$

jest ciasna: przedział zwarty ${\displaystyle [0,1]}$ będzie pełnił rolę ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ W ogólności rodzina miar delt Diraca na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Niech dana będzie ${\displaystyle n}$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}\colon i\in I\},}$

gdzie zmienna losowa o rozkładzie ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ma wartość oczekiwaną ${\displaystyle \mu _{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ oraz wariancję ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}>0.}$ Wtedy rodzina ${\displaystyle \Gamma }$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny ${\displaystyle \{\mu _{i}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle \{\sigma _{i}^{2}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R} }$ są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech ${\displaystyle m^{*},\sigma ^{*},m_{i},\sigma _{i}\in \mathbb {R} }$ będą takie, że

${\displaystyle -m^{*}<m_{i}<m^{*}}$ oraz ${\displaystyle 0<\sigma _{i}<\sigma ^{*}}$ dla wszystkich ${\displaystyle i\in I.}$

Niech ${\displaystyle \gamma _{i}=N(m_{i},\sigma _{i}^{2})}$ będzie rozkładem normalnym ze średnią ${\displaystyle m_{i}}$ oraz odchyleniem standardowym ${\displaystyle \sigma _{i}.}$ Wykażemy, że rodzina miar ${\displaystyle \{\gamma _{i}\colon i\in I\}}$ jest jędrna.

Niech będzie dane ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Dla ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle \sigma >0}$ niech ${\displaystyle \Phi _{m,\sigma }}$ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego ${\displaystyle N(m,\sigma )}$ i niech ${\displaystyle \Phi _{0,1}=\Phi .}$ Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

• możemy znaleźć ${\displaystyle x^{*}>0}$ takie, że ${\displaystyle \Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}}$ oraz ${\displaystyle \Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}},}$
• ${\displaystyle \Phi _{m,\sigma ^{2}}(x)=\Phi {\Big (}{\frac {x-m}{\sigma }}{\Big )}}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Połóżmy

${\displaystyle d^{-}=-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}}$ oraz ${\displaystyle d^{+}=m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}.}$

Na mocy naszych założeń o ${\displaystyle m_{i},\sigma _{i}}$ mamy, że dla ${\displaystyle i\in I{:}}$

${\displaystyle {\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\geqslant {\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\leqslant {\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}.}$

Stąd

${\displaystyle \Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\geqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}}$

oraz

${\displaystyle \Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\leqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}}.}$

Teraz, dla każdego ${\displaystyle i\in I}$ mamy

${\displaystyle \gamma _{i}([d^{-},d^{+}])=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})-\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})\geqslant 1-{\tfrac {\varepsilon }{3}}-{\tfrac {\varepsilon }{3}}>1-\varepsilon ,}$

a zbiór ${\displaystyle [d^{-},d^{+}]}$ jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów ${\displaystyle N(m_{i},\sigma _{i}^{2})}$ jest jędrna.

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

• jędrność w klasycznej przestrzeni Wienera,
• jędrność w przestrzeni Skorohoda,
• rozkład skończeniewymiarowy,
• twierdzenie Prochorowa.

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ na przestrzeni topologicznej Hausdorffa ${\displaystyle X}$ nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje podzbiór zwarty ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ taki, że

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. Brak numerów stron w książce
• Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2. Brak numerów stron w książce
• Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. Brak numerów stron w książce