Jądro operatora całkowego

Jądro operatora całkowego – funkcja dwóch zmiennych, która występuje pod znakiem całki we wzorze określającym operator. Jądro zazwyczaj oznaczamy literą ${\displaystyle K}$ (ang. kernel).

W praktyce, sens pojęcia jądra przedstawia się następująco: chcemy zdefiniować operator całkowy ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{K}}$ o jądrze ${\displaystyle K,}$ który przeprowadza funkcje ciągłe określone na przestrzeni ${\displaystyle X_{1}}$ w funkcje ciągłe określone na innej przestrzeni ${\displaystyle X_{2}.}$ W tym celu dobieramy funkcję ciągłą ${\displaystyle K\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb {R} ,}$ którą będziemy nazywać jądrem naszego przekształcenia.

Wówczas, dla funkcji ciągłej ${\displaystyle \varphi :X_{1}\to \mathbb {R} }$ określamy wartość operatora całkowego ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{K}}$ na tej funkcji w sposób następujący:

${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{K}\varphi )(x_{2})=\int \limits _{X_{1}}K(x_{1},x_{2})\varphi (x_{1})\;dx_{1},\;x_{2}\in X_{2}.}$

Zatem funkcja wynikowa ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{K}\varphi ,}$ będąca wartością operatora dla funkcji ${\displaystyle \varphi ,}$ powstaje poprzez przemnożenie ${\displaystyle \varphi }$ przez ${\displaystyle K}$ i scałkowanie względem tej ze zmiennych, od której zależy ${\displaystyle \varphi .}$

Osobną kwestią jest to, czym są ${\displaystyle X_{1}}$ oraz ${\displaystyle X_{2}}$ oraz jakie warunki musi spełniać jądro aby operator całkowy był poprawnie określony.

Zobacz hasło jądro w Wikisłowniku

• twierdzenie Dunforda