Interpolacja Hermite’a

Interpolacja Hermite’a – interpolacja umożliwiająca znalezienie wielomianu przybliżającego według wartości

${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2}),\dots ,y_{n}=f(x_{n})}$

na ${\displaystyle n}$ danych węzłach ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},}$ oraz na wartościach pochodnych na wybranych węzłach

${\displaystyle f'(x_{1}),f''(x_{1}),\dots ,f^{(k_{1})}(x_{1}),\dots ,f'(x_{n}),\dots ,f^{(k_{n})}(x_{n}).}$

Węzeł zadany bez pochodnej jest węzłem pojedynczym, a węzeł z danymi pochodnymi ${\displaystyle 1,2,\dots ,k}$ jest węzłem ${\displaystyle k+1}$-krotnym.

Algorytm jest podobny jak przy interpolacji Newtona. Kolumnę wypełnia się wszystkimi wartościami węzłów (jeżeli węzeł jest ${\displaystyle k}$-krotny, to umieszczamy go w tabeli ${\displaystyle k}$ razy).

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f(x_{2})}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$

Następnie dopisuje się do każdej kolumny kolejne różnice dzielone, z tym wyjątkiem, że przy węzłach ${\displaystyle k}$-krotnych, ${\displaystyle k>1,}$ gdzie, de facto, nie można obliczyć różnicy dzielonej, podstawia się wartości kolejnych pochodnych na węzłach podzielone przez silnię ze stopnia pochodnej. (W tabeli przedstawiony jest ${\displaystyle 3}$-krotny węzeł ${\displaystyle x_{1}}$).

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle f[x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle f[x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f'(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f'(x_{1})}$	${\displaystyle {\frac {f''(x_{1})}{2!}}}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f(x_{2})}$	${\displaystyle f[x_{1},x_{2}]}$	${\displaystyle f[x_{1},x_{1},x_{2}]}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$	${\displaystyle f[x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$

Tabelę uzupełnia się do końca jak przy interpolacji Newtona, uznając ciągłe pochodne na węzłach wielokrotnych jako różnice dzielone rzędu drugiego.

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle f[x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle f[x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle f[x_{i-3},x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle f[x_{i-n},\dots ,x_{i}]}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f'(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f'(x_{1})}$	${\displaystyle {\frac {f''(x_{1})}{2!}}}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{1},x_{1}]}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$	${\displaystyle f[x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

Definiując ${\displaystyle a_{i}}$ jako wartości na przekątnej, ${\displaystyle i=1,2,3,\dots ,m,}$ gdzie ${\displaystyle m}$ to suma krotności węzłów, otrzymuje się wielomian:

${\displaystyle w(x)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}\prod _{j=0}^{i-1}(x-{\bar {x}}_{j}),}$

gdzie ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={x_{1},x_{1},\dots ,x_{1},x_{2},x_{2},\dots ,x_{2},\dots ,x_{n}},}$ przy czym każdy ${\displaystyle k}$-krotny węzeł występuje ${\displaystyle k}$ razy.

Należy znaleźć wielomian interpolacyjny, przybliżający funkcję o zadanych węzłach dwukrotnych:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x_{1}=1&,&x_{2}=3\\f(x_{1})=3&,&f(x_{2})=5\\f'(x_{1})=2&,&f'(x_{2})=6\end{array}}}$

Zapisuje się wartości w tabeli:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$

Następnie w miejsce powtarzającego się węzła wstawia się wartości pochodnej, a w pozostałe miejsca (w tym przypadku jedno) wstawia się odpowiednią różnicę dzieloną:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle R_{2}(x_{i})}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	–
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$

Następnie uzupełnia się do końca tabelę:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle R_{2}(x_{i})}$	${\displaystyle R_{3}(x_{i})}$	${\displaystyle R_{4}(x_{i})}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	–	–	–
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	–	–
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	–
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

Zatem otrzymuje się wielomian:

${\displaystyle w(x)=3+2(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {3}{2}}(x-1)^{2}(x-3)={\frac {3}{2}}x^{3}-8x^{2}+{\frac {27}{2}}x-4.}$

Łatwo sprawdzić, że interpoluje on dane punkty:

${\displaystyle w(1)={\frac {3}{2}}-8+{\frac {27}{2}}-4=3}$

${\displaystyle w'(1)={\frac {9}{2}}-16+{\frac {27}{2}}=2}$

${\displaystyle w(3)={\frac {3}{2}}\cdot 27-8\cdot 9+{\frac {27}{2}}\cdot 3-4=5}$

${\displaystyle w'(3)={\frac {9}{2}}\cdot 9-16\cdot 3+{\frac {27}{2}}=6.}$

• interpolacja wielomianowa
• postać Lagrange’a wielomianu
• postać Newtona wielomianu

• Rafał Witkowski: Metody numeryczne, ćwiczenie 5. [dostęp 2012-11-10]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-12-30)]. (pol.).