Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni
wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum, naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego. W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku. Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej
odpowiada dokładnie jedna granica Banacha.
Twierdzenie
Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy
![{\displaystyle f\colon \ell _{\infty }\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f018efe9f00a560a8fa0cad1613303bcead2ca7)
mający następujące własności:
- Jeśli
oraz
to ![{\displaystyle f(x)\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2011700c8ce575f7fce9bdc72d07172cdf06c03)
- Jeśli
to
gdzie
dla ![{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e9c81ee4eda1d797d9e76e70093ba27d512cc5)
![{\displaystyle f(1,1,1,\dots )=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498edbd95379ca0f1c2fd6779e697f56765caa94)
Funkcjonał
taki, jak wyżej nazywamy granicą Banacha.
Własności
Niech
będzie granicą Banacha oraz
Wówczas:
- Jeśli
dla
to ![{\displaystyle L(x)\leqslant L(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ae9b1c76dc0c08b5d3ef9be22fe9c5e6cee817)
(co oznacza, że
dla każdego ciągu zbieżnego
)
dla
ponieważ
skąd
ale
![{\displaystyle L(x+Sx)=L(x)+L(Sx)=2L(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc5f953b7fc09cbf9d944d5c01ea2a3fdfa2e13)
- czyli
![{\displaystyle L(x)=1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7e57b893b0a7705de4c052e2d8d80799a60238)
- Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone
i
że
![{\displaystyle L(xy)\neq L(x)\cdot L(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e509f9c3a1676f75e8aeefca8283d5e213b1ae)
- Istotnie, gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc
dostalibyśmy ![{\displaystyle 0=L(0)=L(x\cdot Sx)=L(x)\cdot L(Sx)=(L(x))^{2}={\tfrac {1}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a6d90e4e7eab23e482b132e0db91fc0875461a)
- co stanowi sprzeczność.
Bibliografia
- Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 98. ISBN 978-83-01-15802-6.