Funkcja tworząca momenty silni

Funkcja tworząca momenty silni – dla danego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o wartościach rzeczywistych funkcja zdefiniowana wzorem

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}}$

dla wszystkich liczb zespolonych ${\displaystyle t,}$ dla których ta wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich ${\displaystyle t}$ na okręgu jednostkowym ${\displaystyle |t|=1,}$ patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli ${\displaystyle X}$ jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy ${\displaystyle M_{X}}$ nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle M_{X}(t)}$ jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich ${\displaystyle t}$ w zamkniętym jednostkowym dysku ${\displaystyle |t|\leq 1.}$

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że ${\displaystyle M_{X}}$ istnieje w sąsiedztwie ${\displaystyle t=1,}$ ${\displaystyle n}$-ty moment silni jest dany przez^[1]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\underline {n}}]={M_{X}}^{\underline {n}}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),}$

gdzie ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ oznacza silnię dolną.

Niech ${\displaystyle X}$ ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ. Wykorzystując definicję i własności funkcji wykładniczej otrzymuje się funkcję tworzącą momenty silni tej zmiennej,

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,}$

skąd

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\underline {n}}]=\lambda ^{n}.}$

• funkcja tworząca momenty
• kumulanta
• moment