Element absorbujący
Element absorbujący – element zbioru z działaniem dwuargumentowym, którego iloczyn z dowolnym innym elementem zbioru jest tym elementem absorbującym. W teorii półgrup, element absorbujący nazywany jest elementem zerowym[1][2], ponieważ nie istnieje ryzyko pomylenia go z innym pojęciem zera. W tym artykule oba pojęcia są równoznaczne. Element absorbujący może też być nazywany elementem anihilującym.
Definicja formalna
Niech będzie zbiorem z określonym na zbiorze zamkniętym działaniem dwuargumentowym (grupoid). Element absorbujący (zerowy) jest to taki element że dla każdego należącego do Wyróżnia się pojęcie[2] zera lewego, gdy wymagane jest jedynie oraz zera prawego, gdzie wymagane jest tylko
Elementy absorbujące są szczególnie ciekawe w półgrupach, zwłaszcza w multiplikatywnych półgrupach półpierścienia. W przypadku półpierścienia z 0, definicja elementu absorbującego jest czasem uproszczona tak, że nie jest wymagane by element absorbował 0; wystarcza by 0 było jedynym absorbującym elementem[3].
Własności
- Jeśli grupoid ma zarówno lewe, jak i prawe zero, to ma zero, ponieważ
- Jeśli grupoid posiada zero, to ma je tylko jedno.
Przykłady
- Najlepiej znanym przykładem elementu absorbującego w algebrze jest mnożenie, gdzie dowolna liczba pomnożona przez zero jest równa zero. Zero jest więc elementem absorbującym.
- W arytmetyce zmiennoprzecinkowej, według definicji standardu IEEE-754, istnieje wartość „NaN” (z ang. Not A Number; nieliczba). Jest ona elementem absorbującym każdej operacji; np.: x + NaN = NaN + x = NaN, x – NaN = NaN – x = NaN itd.
- Zbiór działań dwuargumentowych na zbiorze razem ze złożeniem relacji tworzy monoid z zerem, gdzie element zerowy jest relacją pustą (zbiorem pustym).
- Zbiór zamknięty gdzie jest również monoidem z zerem, w którym elementem absorbującym jest 0.
- Więcej przykładów:
Zbiór | Operacja | Element absorbujący |
---|---|---|
liczby rzeczywiste | (mnożenie) | 0 |
liczby całkowite | największy wspólny dzielnik | 1 |
macierze kwadratowe | (mnożenie) | macierz zerowa |
zbiory | (część wspólna) | (zbiór pusty) |
podzbiory zbioru | (suma) | |
logika Boole’a | (koniunkcja) | (fałsz) |
logika Boole’a | (alternatywa) | (prawda) |
Przypisy
Bibliografia
- John MackintoshJ.M. Howie John MackintoshJ.M., Fundamentals of Semigroup Theory, Oxford: Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9, OCLC 32969870 .
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
Linki zewnętrzne
- Absorbing element. planetmath.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-02-18)]. na PlanetMath
Absorbing element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].
- p
- d
- e
własności |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
powiązane relacje między |
| ||||||||
powiązane pojęcia |
| ||||||||
uogólnienie |
- Catalana: 0153089