Dziedzina całkowitości
Dziedzina całkowitości, pierścień całkowity[1] – pierścień spełniający cztery warunki – jest:
- niezerowy,
- przemienny,
- z jedynką,
- pozbawiony (właściwych) dzielników zera.
Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.
Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa[potrzebny przypis], jest pierścień całkowity.
Własności
- Niech będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli przy czym to zachodzi własność skracania:
- jeśli to
- Dowód: Niech Jeśli to czyli Ale w pierścieniu nie ma dzielników zera, więc Stąd
- Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera. - Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu jego iloczyny ze wszystkimi elementami pierścienia: Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. dla pewnych Ale z własności skracania wynika wbrew temu, że są różnymi elementami.
Zobacz też
- dziedzina Euklidesa
Przypisy
- ↑ jednoznaczność rozkładu, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-25] .
Bibliografia
- Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
Linki zewnętrzne
Integral domain (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Encyklopedie internetowe (pierścień przemienny):
- Britannica: topic/integral-domain