Parallellakseteoremet

Parallellakseteoremet også kjent som Steiners sats (etter Jakob Steiner), brukes i fysikk til å beregne treghetsmoment til et generelt legeme som ikke har massefellespunkt på rotasjonsaksen.

Bevis

Treghetsmomentet til et lite masseelement, dm, med kordinatene (x,y) når origo er i rotasjonsaksen. Treghetsmomentet er:

${\displaystyle I=\int r^{2}dm=\int (X^{2}+Y^{2})dm}$

Kordinatene til dm etter at origo er flyttet:

${\displaystyle \ X=x_{cm}+x'}$

${\displaystyle \ Y=y_{cm}+y'}$

Settes dette inn i første ligning får vi:

${\displaystyle I=\int [(x_{cm}+x')^{2}+(y_{cm}+y')^{2}]dm}$

${\displaystyle I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+2x_{cm}\int x'dm+2y_{cm}\int y'dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm}$

Ettersom at aksen er nå plassert i objektets massesenter får vi:

${\displaystyle \int x'dm=\int y'dm=0}$

Da står vi igjen med:

${\displaystyle I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm}$

Som kan skrives:

${\displaystyle \ I=I_{cm}+MD^{2}}$,

der M er massen til hele legemet, og D er avstanden fra den opprinnelige rotasjonsaksen til massesenteret.