Omvendt funksjonsteorem

I matematisk analyse gir det omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at ${\displaystyle f}$ er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at ${\displaystyle f^{\prime }(a)\neq 0}$ i et punkt ${\displaystyle a}$. Da finnes en omegn ${\displaystyle U}$ om ${\displaystyle a}$ slik at ${\displaystyle f}$ restringert til ${\displaystyle U}$ er injektiv, og slik at om ${\displaystyle V=f(U)}$ er verdimengden til ${\displaystyle f}$, så er den omvendte funksjonen ${\displaystyle g:V\to U}$ kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}.}$

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ er en åpen mengde og at ${\displaystyle \mathbf {F} :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at ${\displaystyle {\bar {x}}\in U}$ og at Jacobi-matrisen ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})}$ er inverterbar. Da finnes en åpen omegn ${\displaystyle U_{0}\subset U}$ om ${\displaystyle {\bar {x}}}$ slik at ${\displaystyle \mathbf {F} }$ restringert til ${\displaystyle U_{0}}$ er injektiv. Verdimengden ${\displaystyle V}$ til denne restriksjonen er en omegn om ${\displaystyle {\bar {y}}=\mathbf {F} ({\bar {u}})}$, og den omvendte funksjonen ${\displaystyle \mathbf {G} :V\to U_{0}}$ er deriverbar i ${\displaystyle {\bar {y}}}$ med Jacobi-matrise

${\displaystyle \mathbf {G} ^{\prime }({\bar {y}})=\mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})^{-1}.}$

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ være definert ved ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(x^{4}-y^{4},xy)}$. Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet ${\displaystyle (1,0)}$. Jacobi-matrisen gitt ved

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)={\begin{pmatrix}4x^{3}&4y^{3}\\y&x\end{pmatrix}}.}$

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved ${\displaystyle \det \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)=4x^{4}-4y^{4}}$. Setter vi inn for ${\displaystyle (1,0)}$, får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om ${\displaystyle (1,0)}$ slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved ${\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}}$, som er

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$, så er ${\displaystyle \mathbf {F} (a,b)=\mathbf {F} (-a,-b)}$, så funksjonen kan ikke være injektiv.

• Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)