Komplett metrisk rom

Et komplett metrisk rom, også kalt et Cauchy-rom, er et metrisk rom ${\displaystyle M}$ der alle Cauchy-følger konvergerer, og grensen er også et element i ${\displaystyle M}$. Eksempler på komplette metriske rom er de reelle, og komplekse tallene, endelige reelle og komplekse vektorrom, Lp-rom og Sobolev-rom.

Intuitivt kan man tenke på det som et rom der ingen punkter «mangler», hverken på innsiden eller på randen. For eksempel er mengden av rasjonale tall ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ikke komplett – man kan for eksempel konstruere en følge av rasjonale tall som konvergerer mot ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, men ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ er et irrasjonelt tall og dermed ikke inneholdt i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Det er alltid mulig å «fylle alle hullene», som gir kompletteringen av et gitt rom. Rommet bestående av de reelle tallene ${\displaystyle \mathbb {R} }$ utgjør nøyaktig kompletteringen av ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Et komplett normert rom kalles et Banach-rom, og et komplett indreproduktrom kalles et Hilbert-rom.

• Et underrom A av et komplett metrisk rom er i seg selv et komplett metrisk rom hvis og bare hvis A er lukket.^[1]
• Ethvert kompakt metrisk rom er også komplett. Et underrom A av et metrisk rom er kompakt hvis og bare hvis det er lukket og totalt begrenset.^[2]

Kompletthet er en essensiell egenskap i Banachs fikspunktteorem og i Baires kategoriteorem.

La ${\displaystyle M}$ være et metrisk rom, tilordnet en metrikk ${\displaystyle d_{m}}$, og la ${\displaystyle D}$ være et underrom av ${\displaystyle M}$. Vi sier at ${\displaystyle D}$ er tett i ${\displaystyle M}$ dersom for alle ${\displaystyle x\in M}$ finnes det en følge av elementer fra ${\displaystyle D}$ som konvergerer mot ${\displaystyle x}$. Ekvivalent kan man si at ${\displaystyle D}$ er tett i ${\displaystyle M}$ hvis og bare hvis for enhver ${\displaystyle x\in M}$ og enhver ${\displaystyle \delta >0}$ finnes det et element ${\displaystyle y}$ i ${\displaystyle D}$ slik at ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$. For eksempel er de rasjonale tallene komplett i de reelle tallene; for ethvert tall ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ kan vi finne en følge i ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ som konvergerer mot ${\displaystyle x}$.

Hvis ${\displaystyle (M,d_{m})}$, utgjør et rom ${\displaystyle ({\overline {M}},d_{\overline {M}})}$ kompletteringen av ${\displaystyle M}$ dersom ${\displaystyle ({\overline {M}},d_{\overline {M}})}$ er slik at^[3]

1. ${\displaystyle (M,d_{m})}$, er et underrom av ${\displaystyle ({\overline {M}},d_{\overline {M}})}$, altså i.e. ${\displaystyle M\subseteq {\overline {M}}}$ and ${\displaystyle d_{\overline {M}}(x,y))=d_{M}(x,y)}$ for alle ${\displaystyle x,y\in M}$
2. M er tett i ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Ethvert metrisk rom har en kompletteringen.^[4] Dette er nyttig i mange tilfeller; istedenfor å lete etter et komplett metrisk rom, kan man heller jobbe med kompletteringen, som man vet eksisterer. Imidlertid er det ikke slik at kompletteringen alltid arver alle ønskelige egenskaper. Ethvert komplett metrisk rom utgjør også sin egen komplettering.

De reelle tallene ${\displaystyle \mathbb {R} }$ utgjør kompletteringen av ${\displaystyle \mathbb {Q} }$;^[3] alle rasjonale tall er også reelle tall, og for ethvert reelt tall man kan konstruere en følge av rasjonale tall som konvergerer mot dette.

• Komplett målrom
• Komplett uniformt rom

• Tom L. Lindstrøm (2017). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6.