Forventning
- Flere betydninger:Forventning (psykologi)
Forventning eller forventningsverdi er en størrelse innen sannsynlighetsregning. Forventningen til en stokastisk variabel er en verdi, slik at hvis man gjentar eksperimentet som ligger til grunn for variabelen mange ganger, vil gjennomsnittet av utfallene nærme seg forventningen. I det diskrete tilfellet er forventningen lik summen av sannsynligheten for hvert utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.
For en stokastisk variabel X, skriver man E[X] for forventningsverdien til X.
Definisjon
Forventningsverdien til en diskret stokastisk variabel
Hvis X er en diskret stokastisk variabel, og antar verdiene x1, x2, ... med sannsynlighet henholdsvis p1, p2, ... så er forventningsverdien E(X) gitt ved
Hvis X kan anta tellbart uendelig mange forskjellige verdier, er denne summen en uendelig rekke. I dette tilfellet eksisterer forventningsverdien E[X] bare hvis denne rekken konvergerer absolutt.
Forventningsverdien til en stokastisk variabel med tetthetsfunksjon
Hvis en stokastisk variabel X har tetthetsfunksjon f(x), er forventningsverdien gitt ved
Forventningsverdien eksisterer bare hvis integralet konvergerer.
Generell definisjon
Generelt blir forventningsverdien definert som følger: Hvis X er en P-integrerbar stokastisk variabel fra et sannsynlighetsrom (Ω, Σ, P) til , der B er den borelske σ-algebra over så defineres
Empirisk forventning
Den empiriske motsatsen til forventning er gjennomsnittet. Forventning estimeres ofte ved gjennomsnitt og trimmet gjennomsnitt og for symmetriske fordelinger også ved medianen.
Egenskaper
Forventning er en lineær operator, så for vilkårlige konstanter og og en stokastisk variabel gjelder
Eksempler
Et eksempel på en diskret stokastisk variabel er gjennomsnittsresultatet av en lang serie med kast (100 eller flere) med en terning med 1-6 «øyne» på sidene. Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har hver av sidene sannsynligheten 1/6 for å vises. Forventet antall øyne blir da 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5.