De methode van variatie van parameters of variatie van constanten is een methode om een particuliere oplossing te vinden van een lineaire differentiaalvergelijking. De methode is breder toepasbaar dan de methode van de onbepaalde coëfficiënten, maar vereist meer rekenwerk.
De algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking bestaat uit de algemene oplossing van de homogene vergelijking, plus een willekeurige oplossing van de volledige vergelijking, de zogenaamde particuliere oplossing.
Methode voor een 2e-orde-differentiaalvergelijking
Beschouw de lineaire 2e-orde-differentiaalvergelijking:
![{\displaystyle y''+a\,y'+b\,y=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2861c932ffe1b3d847b96ac566f4d8ed530ac23)
Hierin kunnen
en
zelf ook functies van
zijn. Merk ook op dat de coëfficiënt van de tweede afgeleide gelijk is aan 1. Dit is geen echte beperking, want indien hij niet 1 is, kan de vergelijking door deze factor worden gedeeld, zodat hij 1 wordt.
Indien
en
onafhankelijke oplossingen zijn van de homogene vergelijking, dus met het rechterlid gelijk aan nul, dan is algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking:
![{\displaystyle y_{\text{H}}(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18112d65e190d08b4b436ddcb6518b208999d2a8)
De bedoeling is nu een particuliere oplossing, dus een oplossing van de volledige vergelijking, te vinden van de gedaante:
,
waarin de constanten uit de homogene oplossing vervangen zijn door functies van
. Dit verklaart tevens de benaming van deze methode. De bedoeling is deze twee functies
en
te vinden.
In wat volgt wordt de variabele
niet verder opgenomen in de notatie om de formules overzichtelijk te houden.
De afgeleide van deze vooropgestelde particuliere oplossing is dan:
![{\displaystyle y'_{\text{P}}=(C_{1}'y_{1}+C_{2}'y_{2})+(C_{1}y_{1}'+C_{2}y_{2}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8162f1935e86ba7cabd628b67d33ba5d5f906ef0)
Stel nu als eerste eis aan de onbekende functies
en
dat de eerste bijdrage in deze som nul is:
![{\displaystyle (1)\quad C_{1}'y_{1}+C_{2}'y_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e92fd94b1570726399e334cdeade9b6c6277c7)
De tweede afgeleide van de particuliere oplossing is dus:
![{\displaystyle y''{\text{P}}=(C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}')+(C_{1}y_{1}''+C_{2}y_{2}'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00295938726782091c402f25a1f9bc4a697224f8)
Door de uitdrukkingen voor
,
en
in te vullen in de inhomogene differentiaalvergelijking, vindt men na herschikking:
![{\displaystyle (C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}')+C_{1}(y_{1}''+a\,y_{1}'+b\,y_{1})+C_{2}(y_{2}''+a\,y_{2}'+b\,y_{2})=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e1811fea87a64c973cf64a44127bf83430f211)
De tweede en derde bijdrage in deze som zijn echter nul want
en
zijn oplossingen van de homogene vergelijking. Dus blijft er over:
![{\displaystyle (2)\quad C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}'=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0894c114f1d76fd0bda6b2a5f9a6848552690811)
De eisen (1) en (2) leveren nu een stelsel in de onbekenden
en
. De oplossingen van dit stelsel kunnen vervolgens worden geïntegreerd om de gezochte functies
en
te vinden:
,
waarmee de particuliere oplossing gevonden is.
De integratieconstanten bij de berekening van deze twee integralen kunnen zonder verlies van algemeenheid nul gekozen worden.
Voorbeeld van een 2e-orde-differentiaalvergelijking
De differentiaalvergelijking:
![{\displaystyle y''+4\,y'+3\,y=\sin(2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23535671254379dcc25c90ad79b2649f43a3d3cc)
heeft als algemene homogene oplossing:
![{\displaystyle y_{\text{H}}=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5cda0cbcbdd518eade2c2ea7b86d13754de2eb)
Er wordt dus een particuliere oplossing gezocht van de vorm
![{\displaystyle y_{\text{P}}=C_{1}(x)e^{-3x}+C_{2}(x)e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9f564de6c101a17099174f521ae253f8014bde)
met
en
functies van
. De voorwaarden voor de afgeleiden van deze twee functies zijn:
![{\displaystyle C_{1}'e^{-3x}+C_{2}'e^{-x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953b38e309569c1cd7b4e02e24b10d7c36830b4a)
![{\displaystyle -3\,C_{1}'e^{-3x}-C_{2}'e^{-x}=\sin(2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2da2aa9b68e5685887173ff10d6c5a1f99e2ec7)
Met als oplossingen:
![{\displaystyle C_{1}'=-{\tfrac {1}{2}}e^{3x}\sin(2x),\quad C_{2}'={\tfrac {1}{2}}e^{x}\sin(2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5af2be392573517c28f27866c094bd58c59bbf)
zodat na integratie:
![{\displaystyle C_{1}(x)={\tfrac {1}{13}}e^{3x}(2\cos(2x)-3\sin(2x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0fa4bd1357cd4451fef55ab19ef25de844d3c7)
![{\displaystyle C_{2}(x)={\tfrac {1}{10}}e^{x}(-2\cos(2x)+\sin(2x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591305fc813f0ede37ec11700da26cf27baadc06)
De particuliere oplossing is dus:
![{\displaystyle y_{\text{P}}(x)=-{\tfrac {8}{65}}\cos(2x)-{\tfrac {1}{65}}\sin(2x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c58e2b2026c87785ff3faec7b887cf358c9969)
De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking is dan
![{\displaystyle y(x)=a\,e^{-3x}+b\,e^{-x}+y_{\text{P}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58adadc0b29dcbeba963de5a4abc4762b7001e7)
waarbij
en
echte constanten zijn. Deze worden bepaald met behulp van de randvoorwaarden.
Hogere ordes
De methode kan veralgemeend worden voor differentiaalvergelijkingen van een hogere orde. Voor orde
dienen
functies
gezocht te worden waarbij
loopt van 1 tot
. De afgeleiden van deze functies zijn de oplossingen van het stelsel:
![{\displaystyle C_{1}'y_{1}^{(0)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(0)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e81dfef8927bb1f4985dc3c5f06c7e24ec0a1c)
![{\displaystyle C_{1}'y_{1}^{(1)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(1)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41c4aeda56217c8361d77d40978ac3017a3019a)
- ....
![{\displaystyle C_{1}'y_{1}^{(n-2)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(n-2)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfab13ba575ce429633c89b726652f437e42532)
![{\displaystyle C_{1}'y_{1}^{(n-1)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(n-1)}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26535450a4e93032204a42532a61bfafceb1a5)
De determinant van dit stelsel is de zogenaamde wronskiaan. De oplossingen dienen dan nog geïntegreerd te worden tot de gewenste functies
, en de gezochte particuliere oplossing is:
![{\displaystyle y_{\text{P}}(x)=C_{1}(x)\,y_{1}(x)+\ldots +C_{n}(x)\,y_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a383b521373bb0585be264e84ef2fe2dea5c3a68)
waarin
weer de
onafhankelijke oplossingen uit de homogene oplossing zijn.