De quotiëntregel is een formule om de afgeleide van een quotiënt van twee functies te bepalen.
Neem aan dat de functie
geschreven kan worden als
met
en dat
en
beide differentieerbaar zijn, dan geldt
![{\displaystyle f'(x)=\left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)^{\prime }={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d83f7defcd4ba959522973713c4c565d7098a0)
De volgende verkorte notatie is eveneens gebruikelijk:
![{\displaystyle f'=\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'h-gh'}{h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63af39c56d9986e63d5161ddd2f6d53140bfe545)
Ook wordt wel het volgende ezelsbruggetje gebruikt:
![{\displaystyle f'={\frac {nat-tan}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100d7e1ddd8933ffdeada70fb58612635f590a0a)
Hierin staat "nat" voor "noemer keer afgeleide teller" en "tan" voor "teller keer afgeleide noemer" en "n²" voor het kwadraat van de noemer.
Bewijs
Het bewijs maakt gebruik van de productregel en van de kettingregel:
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)\ (h(x))^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ce43501ca6139aebee5be8bad99584795b7f8a)
![{\displaystyle f'(x)={\big (}g(x)(h(x))^{-1}{\big )}'=g'(x)(h(x))^{-1}+(-1)g(x)(h(x))^{-2}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53042e7eb08ea3df64e961a0ae1a8043a20ef91)
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Beschouw
. Toepassen van de quotiëntregel levert
![{\displaystyle f'(x)=\left({\frac {x^{2}-3x}{x-1}}\right)^{\prime }={\frac {(x^{2}-3x)^{\prime }(x-1)-(x^{2}-3x)(x-1)^{\prime }}{(x-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5588223053c48717f5e98c4a51d8e96aa4fbe8a)
![{\displaystyle \quad ={\frac {(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x)}{(x-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee904b22ec319776944b20e511449464e03a3aa)
![{\displaystyle \quad ={\frac {x^{2}-2x+3}{(x-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5db22f0cb73e5d93c0888ef2a3b88a8b1e28237)
Voorbeeld 2
Beschouw
. De afgeleide wordt dan
![{\displaystyle g'(x)=\left({\frac {e^{2x}}{\sin x}}\right)^{\prime }={\frac {\left(e^{2x}\right)^{\prime }\sin x-e^{2x}(\sin x)^{\prime }}{\sin ^{2}x}}={\frac {e^{2x}(2\sin x-\cos x)}{\sin ^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fc5c8a694dae7994ba011591a2383c04f48801)
Voorbeeld 3
Beschouw een functie
. De afgeleide wordt dan
![{\displaystyle k'(x)={\frac {(g''h-gh'')h^{2}-(g'h-gh')2hh'}{h^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c34b20e83cf66d5e799a59f0bae2a0920b2e6ef)
Deze formule kan men gebruiken voor de tweede afgeleide van de functie
.