In het hamiltonformalisme wordt de poisson-haak voor twee dynamische grootheden
en
als volgt gedefinieerd:
![{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128afd79204da793f6c8ffad51d751dea0f6117d)
waarbij
de coördinaten in de faseruimte zijn.
Dit begrip werd door de Franse wiskundige Siméon Poisson in 1809 ingevoerd[1]. De poisson-haak in de klassieke mechanica komt overeen met de commutator in de kwantummechanica.
Eigenschappen
De volgende eigenschappen gelden voor gelijk welke drie functies
die afhangen van de faseruimte en de tijd:
- Antisymmetrisch
![{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1f1f4a7eef368856844d55a700e559463abe1)
- Lineair
![{\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90081ce49beea361cb78167059f62a66ce970c3f)
- Productregel
![{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b6f742232f680ffab1030dba8f89aee85a0f5c)
- Voldoen aan de Jacobi-identiteit
![{\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022941efe73a03dbf8e90d3ca46fa4aba6bce0bd)
Op grond van deze eigenschappen is de Poisson-haak een voorbeeld van een Lie-haak.
Hamiltonvergelijkingen
Door gebruik te maken van de Poisson-haak kan men de vergelijkingen van Hamilton op een heel elegante manier als volgt schrijven:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}=\{q,H\}\\{\dot {p}}=\{p,H\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48bbf63580dcfcd34cacd8e3717b7d348cf22a93)
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ Poisson. J. de l'École Polytech. 8, pp. 266-344 (1809)