Mertensfunctie

In getaltheorie is de mertensfunctie de rekenkundige functie

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

waarin ${\displaystyle \mu (k)}$ de möbiusfunctie is.

Omdat de möbiusfunctie alleen de waarden –1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen ${\displaystyle x}$ is zodat ${\displaystyle M(x)>x}$. Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen ${\displaystyle x}$ is waarbij de absolute waarde van de mertensfunctie groter is dan de wortel van ${\displaystyle x}$. De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. De riemannhypothese is echter equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van ${\displaystyle M(x)}$, namelijk

${\displaystyle M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })}$

Omdat grote waarden van ${\displaystyle M}$ ten minste net zo hard groeien als de wortel van ${\displaystyle x}$, is dit een strikte grens op de groeivoet.

• Waarden van de mertensfunctie voor de eerste 2500 ${\displaystyle n}$ worden gegeven door PrimeFan's Mertens Waarden Pagina