Meervoudig nulpunt van een polynoom
Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:
en
- .
Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.
Voorbeeld
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Meervoudig_nulpunt.png)
Zij gegeven het polynoom met domein (zie de figuur rechts):
- .
De som van de coëfficiënten , dus er geldt:
- ,
We kunnen nu f herschrijven als
- .
Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:
- .
Het polynoom kan vervolgens worden ontbonden met de som-product-methode in , zodat:
- .
Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en −4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.
Hoofdstelling van de algebra
Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van ten minste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.