Meervoudig nulpunt van een polynoom

Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:

${\displaystyle g(a)\neq 0}$

en

${\displaystyle f(x)=(x-a)^{k}g(x)}$.

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.

Zij gegeven het polynoom met domein ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (zie de figuur rechts):

${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$.

De som van de coëfficiënten ${\displaystyle =1+2-7+4=0}$, dus er geldt:

${\displaystyle f(1)=0}$,

We kunnen nu f herschrijven als

${\displaystyle f(x)=(x-1)r(x)}$.

Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:

${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{2}+3x-4)}$.

Het polynoom ${\displaystyle r=x^{2}+3x-4}$ kan vervolgens worden ontbonden met de som-product-methode in ${\displaystyle (x-1)(x+4)\,}$, zodat:

${\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}(x+4)}$.

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en −4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van ten minste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.