Lp-ruimte

Let op: de juiste naam is ${\displaystyle L^{p}}$-ruimte .

---

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, zijn L^p-ruimten functieruimten die zijn gedefinieerd door gebruik te maken van natuurlijke veralgemeningen van ${\displaystyle p}$-normen voor eindig--dimensionale vectorruimten. Zij worden soms ook Lebesgue-ruimtes genoemd naar Henri Lebesgue^[1], hoewel zij volgens Bourbaki^[2] in 1910 voor het eerst door Riesz^[3] werden geïntroduceerd. Zij vormen een belangrijke klasse van voorbeelden van banachruimten in de functionaalanalyse en van topologische vectorruimten. Lebesgue-ruimten vinden toepassingen in de natuurkunde, statistiek, financiën, techniek en andere disciplines.

Zij ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$. Definieer ${\displaystyle l^{p}}$ als de verzameling oneindige rijen reële getallen ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots )}$ met de eigenschap dat de reekssom van hun ${\displaystyle p}$-de machten absoluut convergeert:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}<\infty }$.

De verzameling ${\displaystyle l^{p}}$ vormt een vectorruimte met de puntsgewijze optelling van rijen en de puntsgewijze vermenigvuldiging met een reëel getal:

${\displaystyle r\cdot (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots )+s\cdot (b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n},\ldots )=(ra_{0}+sb_{0},ra_{1}+sb_{1},\ldots ,ra_{n}+sb_{n},\ldots )}$

De ${\displaystyle p}$-de machtswortel van bovenstaande reekssom is een norm:

${\displaystyle \|(a_{i})_{i}\|_{p}=\left(\sum _{i=0}^{\infty }|a_{i}|^{p}\right)^{1 \over p}}$

De hiermee geassocieerde metrische ruimte is volledig, ${\displaystyle l^{p}}$ is dus een banachruimte.

Als ${\displaystyle p>1}$, dan is de duale banachruimte van ${\displaystyle l^{p}}$ op natuurlijke wijze isometrisch met de banachruimte ${\displaystyle l^{q}}$, waar ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$ De natuurlijke isometrie wordt gegeven door een rij ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n},\ldots )}$ uit ${\displaystyle l^{q}}$ als volgt als een functionaal te laten werken op een rij ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots )}$ uit ${\displaystyle l^{p}}$:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}b_{i}}$.

De ongelijkheid van Hölder garandeert dat bovenstaande reeks absoluut convergeert. Als ${\displaystyle p=2}$, dan is ook ${\displaystyle q=2}$. De ruimte ${\displaystyle l^{2}}$ is een hilbertruimte met als scalair product het rechterlid van bovenstaande uitdrukking.

De verzameling ${\displaystyle l^{\infty }}$ bestaat uit alle begrensde reële rijen. Dit wordt een banachruimte met de supremumnorm

${\displaystyle \|(a_{i})_{i}\|_{\infty }=\sup _{i=0}^{\infty }|a_{i}|}$

De geïnduceerde topologie is die van de uniforme convergentie. Omdat, met een beetje goede wil, ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{\infty }}=1,}$ lijkt het aannemelijk dat ${\displaystyle l^{\infty }}$ de duale ruimte is van ${\displaystyle l^{1},}$ en dit blijkt ook waar te zijn. Het omgekeerde is echter niet waar: ${\displaystyle l^{1}}$ komt op natuurlijke wijze overeen met een echte deelruimte van de duale van ${\displaystyle l^{\infty }.}$

Bovenstaande ${\displaystyle l^{p}}$-ruimte wordt gegeneraliseerd tot ${\displaystyle L^{p}}$-ruimte, gedefinieerd aan de hand van integreerbare klassen van reële functies in de zin van de Lebesgue-integraal.

We geven hier de algemene definitie met klassen van integreerbare functies op een maatruimte ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$. De functies nemen waarden aan in de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of in de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. De theorie is sterk analoog in beide gevallen, en we gebruiken de letter ${\displaystyle \mathbb {K} }$ om een van de twee lichamen aan te geven. De topologische vectorruimten die we definiëren, zijn vectorruimten over ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

Zij ${\displaystyle 0<p<\infty }$. Definieer ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ als de verzameling ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-meetbare functies ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {K} }$ waarvan de ${\displaystyle p}$-de macht absoluut integreerbaar is:

${\displaystyle \int _{\Omega }|f(\omega )|^{p}d\mu (\omega )<\infty }$.

Zij ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ de lineaire deelruimte van de functies met ${\displaystyle \int _{\Omega }|f(\omega )|^{p}d\mu (\omega )=0}$ (nulfuncties). Dan is bovenstaande uitdrukking nog steeds welgedefinieerd op de nevenklassen van ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$. We gebruiken nog steeds de notatie ${\displaystyle f}$ voor equivalentieklassen van functies modulo ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ (al is dan ${\displaystyle f(\omega )}$ onbepaald voor een ${\displaystyle \omega }$ met ${\displaystyle \mu (\omega )=0}$), en noteren ${\displaystyle L^{p}={\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}}$ voor de quotiëntruimte.

Als ${\displaystyle p\geq 1}$, dan is

${\displaystyle \|f\|_{p}=(\int _{\Omega }|f(\omega )|^{p}d\mu (\omega ))^{1 \over p}}$

een norm op ${\displaystyle L^{p},}$ en ${\displaystyle (L^{p},\|.\|_{p})}$ is een banachruimte.

Als ${\displaystyle 0<p<1}$, dan is de functie

${\displaystyle d(f,g)=\int _{\Omega }|f(\omega )-g(\omega )|^{p}d\mu (\omega )}$

een translatie-invariante metriek op ${\displaystyle L^{p}}$, en ${\displaystyle (L^{p},d)}$ is een volledige metrische ruimte. In de functionaalanalyse heet dit een F-ruimte. Deze ruimte is echter niet lokaal convex, dus geen fréchet-ruimte.

Definieer ${\displaystyle L^{\infty }}$ als de verzameling meetbare functieklassen op ${\displaystyle \Omega }$ die essentieel begrensd zijn in de zin dat

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf _{N\in {\mathcal {A}},\mu (N)=0}\sup _{\omega \in \Omega \setminus N}|f(\omega )|<\infty }$.

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van ${\displaystyle f}$. Het is het supremum van de absolute waarde van ${\displaystyle f}$ op eventuele nulverzamelingen na.

Dan is ${\displaystyle (L^{\infty },\|.\|_{\infty })}$ een banachruimte.

De ruimten ${\displaystyle l^{p}}$ komen terug als bijzonder geval door als maatruimte de telmaat op de natuurlijke getallen te nemen. De ${\displaystyle L^{p}}$-ruimten van reële functies krijgt men met de Lebesgue-maat op de reële getallen.

Als ${\displaystyle \mu }$ een eindige maat is, en ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty }$, dan volgt uit de ongelijkheid van Jensen dat ${\displaystyle L^{q}}$ een deelverzameling is van ${\displaystyle L^{p}}$. De twee normen zijn uiteraard verschillend (en normaal gesproken zelfs niet topologisch equivalent) op de deelverzameling; in het bijzonder is de deelverzameling niet noodzakelijk gesloten in de topologie van de grotere ruimte.

Er wordt hier onderscheid gemaakt tussen drie verschillende ruimten.

${\displaystyle l^{p}(X)}$

gaat over de convergentie van reeksen,

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$

gaat over de integreerbaarheid van functies en

${\displaystyle L^{p}}$

gaat over equivalentieklassen van integreerbare functies.

${\displaystyle l^{p}}$

is een bijzonder geval van ${\displaystyle L^{p}}$. Beide zijn banachruimten. Voor ${\displaystyle p=2}$ zijn het allebei hilbertruimten.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ is slechts een tussenstadium in de constructie van ${\displaystyle L^{p}}$, het is in het algemeen zelfs geen topologische vectorruimte.