Lokale zèta-functie

Stel dat V een niet-singuliere n-dimensionale projectieve algebraïsche variëteit is over het veld Fq met q elementen. In de getaltheorie wordt de lokale zèta-functie Z(V, s) van V (soms ook de congruente zètafunctie genoemd) gedefinieerd als

Z ( V , s ) = exp ⁡ ( ∑ m = 1 ∞ N m m ( q − s ) m ) {\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)}

waar Nm het aantal punten van V is, dat gedefinieerd is over de graad m met uitbreiding Fqm van Fq.

Door de variabele transformatie u = q − s {\displaystyle u=q^{-s}} wordt het gedefinieerd door

Z ( V , u ) = exp ⁡ ( ∑ m = 1 ∞ N m u m m ) {\displaystyle {\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)}

als de formele machtreeksen van de variabele u.

Equivalent wordt de lokale zèta-functie soms gedefinieerd als:

( 1 )     Z ( V , 0 ) = 1 {\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}
( 2 )     d d u log ⁡ Z ( V , u ) = ∑ m = 1 ∞ N m u m − 1   . {\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}\ .}

Met andere woorden wordt de lokale zèta-functie Z(v,u) met coëfficiënten in het eindige veld F gedefinieerd als een functie waarvan de logaritmische afgeleide de getallen Nm van de oplossingen van de vergelijking genereert, daarbij V in de m-e graad uitbreiding Fm definiërend.