Liouville-functie

De Liouville-functie, aangeduid met ${\displaystyle \lambda (n)}$ en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal ${\displaystyle n}$.

Definitie

Laat ${\displaystyle n}$ een positief natuurlijk getal zijn en ${\displaystyle \Omega (n)}$ het aantal priemfactoren van ${\displaystyle n}$, dan is de Liouville-functie gedefinieerd door:

${\displaystyle \lambda (1)=1}$

en voor ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

Het aantal priemfactoren ${\displaystyle \Omega (n)}$ van ${\displaystyle n}$ kan afgelezen uit de (rij^[1]).

Meervoudige factoren worden in ${\displaystyle \Omega (n)}$ ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld is ${\displaystyle \Omega (12)=3}$, want 12 = 2×2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is ${\displaystyle \lambda (12)=(-1)^{3}=-1}$. Voor ${\displaystyle n=13}$ geldt ${\displaystyle \Omega (13)=1}$ omdat 13 een priemgetal is, en dus is ook ${\displaystyle \lambda (13)=-1}$, zoals voor alle priemgetallen.

De Liouville-functie neemt slechts de waarden +1 en -1 aan, afhankelijk ervan of het argument een even of een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie

De Riemann-zèta-functie ${\displaystyle \zeta (s)}$, waarin ${\displaystyle s}$ een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ priem}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ priem}}}{\frac {1}{1+p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$

Sommering

Stel: ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$. Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle L(n)}$ geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met ${\displaystyle n}$ met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ voor alle ${\displaystyle n\geq 2}$.^[2] Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen ${\displaystyle x}$ zijn waarvoor ${\displaystyle L(x)>0}$ is.^[3] Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.^[4]

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = −17555181 en L(351753358289465)=1160327.^[5] Het is echter nog een open vraag, of ${\displaystyle L(n)}$ al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}$.

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat ${\displaystyle M(n)}$ vanaf een voldoend grote ${\displaystyle n}$, steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor ${\displaystyle M(n)}$ negatief is.^[3]