Kronecker-symbool

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het Kronecker-symbool, geschreven als ${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ of (a|n), een veralgemening van het Jacobi-symbool voor alle gehele getallen n.

Het Kronecker-symbool werd geïntroduceerd door Leopold Kronecker.

Laat n een niet-nulzijnd geheel getal met priemfactorisatie zijn

${\displaystyle u\cdot {p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$,

waar u een eenheid (dat wil zeggen, u is 1 of −1), en p_i de priemgetallen zijn. Laat a een geheel getal zijn.

Het Kronecker-symbool (a|n) wordt gedefinieerd door

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Voor oneven getallen p_i, is het getal (a|p_i) gewoon het gebruikelijke Legendre-symbool. Dit laat het geval over, waar p_i = 2. We definiëren (a'|2) door

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{als }}a{\mbox{ even is,}}\\1&{\mbox{als }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{als }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Aangezien dit het Jacobi-symbool uitbreidt, is de hoeveelheid (a|u) gewoon 1, wanneer u = 1. Wanneer u = −1, definiëren we dit door

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{als }}a<0,\\1&{\mbox{als }}a\geq 0.\end{cases}}}$

Ten slotte nemen wij

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{als }}a=\pm 1,\\0&{\text{anders.}}\end{cases}}}$

Deze uitbreidingen volstaan om het Kronecker-symbool voor alle geheelgetallige waarden n te definiëren.

• Kroneckerdelta