De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.
Als de functie
de samenstelling is van de functies
en
, dus
, dan is:
,
of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met
aanduidt en zegt dat
via
van
afhangt:
![{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}={\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}h}}\cdot {\frac {{\rm {d}}h}{{\rm {d}}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c0c6e166ea45fe89009a1e4710dc08623780ec)
De integratie door substitutie is een van de meest gebruikte technieken om de primitieve functie van een gegeven functie te vinden en volgt uit deze kettingregel.
Laat
en
open intervallen zijn en
en
functies met
. Als
differentieerbaar is in het punt
en
differentieerbaar in het punt
, dan is de samenstelling
differentieerbaar in
, en er geldt:
![{\displaystyle (g\circ h)'(a)=g'(h(a))\cdot h'(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be39441922c39dc436491fb715d7470b8f304a45)
Schets van een bewijs
![{\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {(g\circ h)(x)-(g\circ h)(a)}{x-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618c2d3f69b3d7e19cbf7c7c8246147a6dfbc0a2)
![{\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{x-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65d4a9a2460f9c2872e53c633196fb0fcf0905f)
![{\displaystyle =\lim _{x\to a}\left[{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot {\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02e007679e4bf0839191039006af37814fad888)
![{\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cc42a24e9d2dac1232f9f7e6cef773a814cd36)
![{\displaystyle =g'(h(x))\cdot h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4981af2ce31f88908f67de093acb89f2dbaf32e8)
Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat
![{\displaystyle h(x)=h(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c929cc5604770d6235fda14658085e76d2c210)
zodat in het bewijs door 0 zou worden gedeeld.
Toepassing
Voorbeelden
De functie
![{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7494a0cdfe9d755f913e4d98a7c69d7b713d504a)
is de samenstelling van de functies
![{\displaystyle g(y)=\sin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0317af9d099a4e1d07a499f87b35786da7630cf3)
en
![{\displaystyle h(x)=x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0f1d2ff490196a7920989fd59f70fdf9464519)
De afgeleide van
kan met de kettingregel worden bepaald:
![{\displaystyle f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becbd6a80fbd46e70e1b8c1c921c8142aac879a8)
De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:
![{\displaystyle f(x)=\sin \left(e^{\cos(2x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ca0f074d08a9b085b9413d5658bc50798c9bd3)
Deze functie is een 'ketting'
![{\displaystyle f=d\circ c\circ b\circ a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531ed5807ec28bc43ff8e0be9feb6aa308672610)
van de functies:
![{\displaystyle a(x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963357d0b95d85215a832df2c75b9562f96a7bf9)
![{\displaystyle b(y)=\cos(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95985262339d2f514c4628175e02042274ebe70f)
![{\displaystyle c(z)=e^{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f51764be7e1462f3945a8eb245400c57922aa4)
![{\displaystyle d(t)=\sin(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c991a5b54af15836bb0cc838944bb01716041904)
De afgeleiden van deze functies zijn:
![{\displaystyle a'(x)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906d2f81b30c8066bfdc028c2da72eed851ada63)
![{\displaystyle b'(a)=-\sin(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee5926a1691d20a9863bd04e743a21e64bc41bc)
![{\displaystyle c'(b)=e^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd5b6c1de2331aafc3e943223b14e21998332b4)
![{\displaystyle d'(c)=\cos(c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ceffa678fe24ab2165570a923b336f9610d49f6)
De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:
![{\displaystyle f'(x)=d'(c)\cdot c'(b)\cdot b'(a)\cdot a'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfee596c65d63599286769ea72b0390a4c0efc97)
dus:
![{\displaystyle f'(x)=\cos(c(b(a(x))))\cdot e^{b(a(x))}\cdot (-\sin(a(x)))\cdot 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c38451b9d9bbe5cdeaecd2660bc1a3d5ba9acd)
en na invullen
![{\displaystyle f'(x)=-2\cdot \sin(2x)\cdot e^{\cos(2x)}\cdot \cos(e^{\cos(2x)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e78085d99843f3484e84a442e26cf289633e07)
Inverse functie
Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie
en daarvan de inverse
.
Er geldt immers:
, zodat volgens de kettingregel:
![{\displaystyle (f\circ f^{-1})'(x)=f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00354a6f813e6da176dd9bfce616ae16e3f9583b)
zodat
![{\displaystyle (f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeef8b283106b71f180ff351b8f9cc8802d506be)
Toepassing
De afgeleide van de arcsinus:
![{\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sin '(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\cos(\arcsin(x))}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\arcsin(x))\ }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\ }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506c2320f7e1929003cd3f17443d125a6eb537ed)
Reciproque
De afgeleide van de reciproque
van een functie
kan ook met de kettingregel worden bepaald. Er geldt immers:
, met
, zodat volgens de kettingregel:
![{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)=g'(x)=h'(f(x))\cdot f'(x)=-{\frac {1}{(f(x))^{2}}}\cdot f'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babd9681827fdd82cdb7225b2aa407d98ceaae90)
Meer dan een variabele
Stel dat
de samenstelling is van de afbeeldingen
en
in meer dan een variabele. Bijvoorbeeld
![{\displaystyle h:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to E\subset \mathbb {R} ^{n},\ g:E\to \mathbb {R} ^{p},\ f=g\circ h:D\to \mathbb {R} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe90576ca64df943f96851c7cce54d72ae1e4ac)
Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies
en
in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:
![{\displaystyle h'(x):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},\ g'(h(x)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639b77bdb4a6aa31488b5b35b462a6c1c572bba7)
De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval
ook differentieerbaar is in
en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van
en
![{\displaystyle f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11916d1e302d6c4126836af7882a5d8a631fcff)
Als de betrokken lineaire afbeeldingen als rechthoekige matrices worden opgevat, die uit alle mogelijke partiële afgeleiden bestaan, dan is de matrix van
gelijk aan het product van de matrices van
en
.
met
en ![{\displaystyle \ k=1,\ldots ,m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd4be8176f23928ccb3538ee98e0ab74e2d8da0)
Bijvoorbeeld voor
:
![{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4249d22081734682c6f440acfead3c30a27e45)
Met aanvullend
en
geeft dit:
Als
, dan
![{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc8e4ba1c94e5f7ede75438eecfc282e3c582b0)
Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.