De karakteristieke functie van een stochastische variabele
is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële
gegeven wordt door:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)={\mathrm {E} }\left(e^{itX}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f660ca9603ebe92b0da939fc827f0bbed9d11728)
Er is een eenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van
, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.
De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\ \mathrm {d} F_{X}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77613159d698291bdc824ecb32fdf0cadc2bea78)
waarin
de verdelingsfunctie van
is.
Als
de kansdichtheid
heeft, gaat deze integraal over in:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\ \mathrm {d} x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd9bd7478fd66ee626bf3d1533d0aa6d9429b75)
De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op
of
gedefinieerd is.
Voorbeelden
Normale verdeling
Voor de normale verdeling met parameters
en
is de karakteristieke functie:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {x-\mu }{\sigma }})^{2}}\mathrm {d} x=e^{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma t^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74928b9b55d42264b705774ab1c4d90d1e651a30)
Exponentiële verdeling
Voor de exponentiële verdeling met parameter
is de karakteristieke functie:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\lambda \int _{0}^{\infty }e^{itx}e^{-\lambda x}\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{\lambda -it}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecac6d1eb51c8c8724dd787b8b2a2924561365c7)
Eigenschappen
De karakteristieke functie is continu in de parameter
. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in
.
Voor elk positief geheel getal
, elk stel van
reële getallen
en
complexe getallen
geldt
![{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}z_{i}{\overline {z}}_{j}\varphi _{X}(t_{j}-t_{i})\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b4a135f944a7c5cc3fbdeb7b9cb81d5d294331)
Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie
de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.
Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen
en
geldt:
(begrensd)
(lineaire transformatie)
(convolutie)
Als
een dichtheid
heeft:
(omkeerformule)
De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.