Idempotente matrix

In de algebra is een idempotente matrix een matrix, die met zichzelf vermenigvuldigd weer zichzelf is. Een matrix ${\displaystyle M}$ is dus idempotent, wanneer ${\displaystyle MM=M}$. Het is hiervoor noodzakelijk dat ${\displaystyle M}$ een vierkante matrix is.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ en ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$ zijn een voorbeeld van een ${\displaystyle 2\times 2}$ en een ${\displaystyle 3\times 3}$ idempotente matrix.

Als een matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ idempotent is, dan

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc}$,
• ${\displaystyle b=ab+bd\Rightarrow b(1-a-d)=0\Rightarrow b=0}$ of ${\displaystyle d=1-a}$,
• ${\displaystyle c=ca+cd\Rightarrow c(1-a-d)=0\Rightarrow c=0}$ of ${\displaystyle d=1-a}$,
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}}$.

Het is dus voor iedere ${\displaystyle 2\times 2}$ idempotente matrix zo, dat het een diagonaalmatrix is of dat het spoor ervan gelijk is aan 1. Voor iedere idempotente diagonaalmatrix zijn ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle d}$ ofwel 1 of 0.^[1]

Als ${\displaystyle b=c}$ is de matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ idempotent als ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}$. ${\displaystyle a}$ voldoet dus aan de vergelijking

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0}$ of ${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}}$.

Dit is een cirkel met centrum ${\displaystyle (1/2,0)}$ en straal 1/2. Of, in termen van een hoek ${\displaystyle \theta }$,

${\displaystyle M={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$ is idempotent, maar lineair afhankelijk.

${\displaystyle b=c}$ is geen noodzakelijke voorwaarde: iedere matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$ met ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$ is idempotent, maar ook weer afhankelijk.

Met uitzondering van de eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Veronderstel dat ${\displaystyle M}$ regulier is. ${\displaystyle MM=M}$ voorvermenigvuldigd met ${\displaystyle M^{-1}}$ geeft ${\displaystyle M=I}$.

Het verschil tussen een eenheidsmatrix en een idempotente matrix is weer een idempotente matrix, volgens ${\displaystyle [I-M][I-M]=I-2M+M^{2}=I-2M+M=I-M}$.

Voor een idempotente matrix ${\displaystyle A}$ geldt voor alle machten ${\displaystyle n\geq 1}$ dat ${\displaystyle A^{n}=A}$.

Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en de eigenwaardes ervan zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix is gelijk aan de rang van de matrix.