Exponentiële integraal

De exponentiële integraal is een functie, die gedefinieerd is als de integraal:

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,{\rm {d}}t~.}$

Van een dergelijke integraal bestaat geen primitieve functie. Waarden van de functie ${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)}$ zijn wel te vinden met reeksontwikkelingen, of in tabellen. Een goede benadering kan gevonden worden door:

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)\sim e^{-x}\cdot \ln(1+1/x)\cdot R(x)~,}$

waarin ${\displaystyle R(x)}$ een rationale functie is met dezelfde graad in teller en noemer.

De exponentiële integraal heeft ${\displaystyle x\neq 0}$ de reeksontwikkeling

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}~,}$

waarin ${\displaystyle \gamma }$ de constante van Euler-Mascheroni is.

De functie ${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)}$ is nauw verwant met de logaritmische integraal. Voor ${\displaystyle x>0}$ is:

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\mathrm {Ei} (\ln x)~.}$