Errorfunctie

De errorfunctie is een speciale functie in de wiskunde, die belangrijke toepassingen heeft binnen de kansrekening en de natuurkunde. De functie is gedefinieerd als:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

De errorfunctie is een antisymmetrische functie:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(-x)=-{\mbox{erf}}(x)\;}$.

Verder geldt: ${\displaystyle {\mbox{erf}}(0)=0\;}$ en ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }{\mbox{erf}}(x)=1}$.

De errorfunctie kan worden voorgesteld door de volgende reeks:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}}$

De gegeneraliseerde errorfunctie wordt gegeven door:

${\displaystyle {\mbox{erf}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{y}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

De complementaire errorfunctie wordt gegeven door:

${\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)\;}$.

De imaginaire errorfunctie wordt gegeven door:

${\displaystyle {\mbox{erfi}}(x)=-i{\mbox{erf}}(i\cdot {x})}$

De errorfunctie is direct gerelateerd met de verdelingsfunctie ${\displaystyle \Phi }$ van de standaard normale verdeling.

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$