Bézierkromme met graad drie, bepaald door vier punten
Een bézierkromme of béziercurve is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Paul de Casteljau. In meer dimensies bestaan ook bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.
Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie voor Renault gebruikte.
Definitie
De béziercurve van graad , bepaald door de punten in de , is de parametrische kromme gegeven door:
met
Daarin zijn de bernsteinpolynomen gedefinieerd als:
De bézierkromme van de graad een, bepaald door de twee punten en is het verbindende lijnstuk tussen deze twee punten:
met
Kwadratische bézierkromme
De bézierkromme van de graad twee, bepaald door de drie punten en , is de kromme:
met
De kromme ligt in het vlak door de gegeven drie punten. De drie punten uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn:
De vergelijking van de betreffende bézierkromme is uitgeschreven
De kromme ligt ook in drie dimensies in het vlak door de gegeven drie punten, die zijn gegeven door . De vergelijkingen voor de kromme kunnen ook daarvoor worden opgesteld, maar zijn nogal wijdlopig.
Derdegraads bézierkromme
De bézierkromme van graad drie, opgebouwd uit de vier punten en , die in een vlak of in de ruimte liggen, is:
met
Algemene vorm
Definieer als de bézierkromme die door de punten is bepaald. Dan zijn
en
Hiermee zijn de bézierskrommes op een recursieve manier gedefinieerd, die door een willekeurig aantal punten zijn bepaald.
Toepassingen
Derdegraads bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt en eindpunt en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten en zo met de gewenste begin- en eindrichting worden aangepast, zodat de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.
Praktisch worden ze gebruikt:
voor afbeeldingen in grafisch programma's om gladde krommen te tekenen
in TrueType-lettertypes, die worden met eenvoudige kwadratische bézierkrommes geschreven
voor digitale animatie om een zo natuurlijk mogelijke beweging te simuleren
Mediabestanden
Zie de categorie Bezier Curves van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.