이론물리학에서 R대칭(R對稱, 영어: R-symmetry)은 서로 다른 초대칭 생성원(초전하)들을 섞는 (보손) 대칭이다. 가장 간단한 (
) 초대칭에서는 U(1)이지만, 확장 초대칭의 경우 아벨 군이 아닐 수 있다.
정의
시공간 대칭
이 주어졌다고 하자. 예를 들어, 부호수
의 민코프스키 공간에서, 이는 푸앵카레 대칭
이며, 반 더 시터르 공간이나 등각 장론에서는 이는
의 꼴이다.
이 위에 초대칭 이론을 정의한다고 하자. 그렇다면, 초대칭의 리 초대수
의 보손 성분
를 생각하자. 콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리 등에 따라서, 이는 일반적으로
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Lie} (L)\oplus {\mathfrak {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209307c2b257137f3f8e0eb18f2fd64b007d62e0)
의 꼴이다. 즉, 시공간 대칭과 가환하는 대칭의 리 대수
가 존재한다. 이 리 대수에 대응하는 대칭을 R대칭이라고 한다.
스피너 표현이 실수 또는 복소수 또는 사원수 표현인지 여부에 따라서, R대칭군은 각각 직교군 또는 유니터리 군 또는 심플렉틱 군이 된다. 구체적으로, 시공간 부호수
에서, 초대칭의 R대칭은 다음과 같다.
![{\displaystyle (p-q){\bmod {8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411426a6da2ff0e2e1cb79c26ee55e739b3a77b0) | 스피너 종류 | R대칭 |
0 | 마요라나-바일 | |
±1 | 마요라나 | |
±2 | 마요라나, 바일 | |
±3 | 디랙 | |
4 | (심플렉틱-마요라나) 바일 | |
물론, 이 가운데 일부는 상호 작용에 의하여 깨지거나 게이지 대칭이 될 수 있다.
성질
일반적인 초대칭 양자장론에서, R대칭은 (이름과 달리) 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있다. 즉, 해밀토니언 연산자와 가환하지 않을 수 있다. 이 깨짐은 직접적으로 (R대칭을 따르지 않는 라그랑지언 항), 또는 변칙적으로 일어날 수 있다. 그러나 등각 장론의 경우, 등각 대수가 닫히기 위해서 R대칭이 꼭 필요하며, 따라서 R대칭이 깨질 수 없다.
4차원에서, 중심 전하(영어: central charge)가 없는
초대칭 이론의 경우 R대칭은
이다 (
일 경우,
). 만약 중심 전하
가 주어질 경우, R대칭은 중심 전하를 보존하는 부분군인 심플렉틱 군
으로 깨지게 된다.[1]:40
예
민코프스키 공간 위의 초대칭 이론 (특히 양-밀스 이론)의 R대칭군은 다음과 같다.
시공간 차원 | 초대칭 수(𝒩) | R대칭군 | 주석 |
(1,1) | (2,2) | U(1)A×U(1)V | 물질에 따라서 U(1)A 또는 U(1)V 둘 다 변칙을 겪을 수 있음 |
(2,1) | 4 | SO(4) = SU(2)×SU(2) |
(3,1) | 1 | U(1) |
(3,1) | 2 | SU(2) | U(1) 성분은 변칙적으로 로 깨짐, 게이지 군 |
(3,1) | 4 | SU(4) |
(5,1) | (1,0) | USp(2) = SU(2) |
(5,1) | (1,1) | USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2) |
(5,1) | (2,0) | USp(4) = Spin(5)[2] |
이들 가운데 일부는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다.
- 4차원
양-밀스 이론의 SU(4)=Spin(6) R대칭군은 AdS/CFT 대응성을 통해, 반 더 시터르 공간의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원
는 10차원
양-밀스 이론에서 6개의 차원을 축소화하여 얻으며, 이에 따라 Spin(6)=SU(4)를 얻는다. - 6차원
이론의 경우, 10차원
양-밀스 이론에서 4개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이에 따라 R대칭군은 Spin(4)=USp(2)×USp(2)이다. - 6차원
이론의 경우, M5-막 위에 존재한다. 따라서, 11차원 M이론을 사용하여, M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다. - 3차원
이론은 6차원
이론에서 세 개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원
이론은 USp(2) R대칭을 가지며, 축소화한 3개의 차원으로부터 Spin(3)=SU(2) R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다.
등각 대칭 / (반) 더 시터르
실수 단순 리 초대수 가운데, 그 보손 부분 대수가
[콤팩트 리 대수]
의 꼴인 것들은 다음이 있다.
리 대수 | 시공간 부호수 | R대칭 | 리 대수 | 시공간 부호수 | R대칭 |
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|{\mathcal {N}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd550d1af0fa7f95fc8cbfaf81cb48e603ffaf7) | (4,2) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(2,2|4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6bcebb7b3019f5de530c8e4428622fc8b95b368) | (4,2) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4|{\mathcal {N}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f601a57e44964b1e61e92021ba68542fdecfb0) | (6,0) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(4|4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1f5cec9352db1ccbcd1a9b261fac4928ac1f87) | (6,0) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2|{\mathcal {N}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1a8706a8093732c1208164a2e1c29b1c00d158) | (3,0) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(2|2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3702c63502c5df903281c22cfbc935082b6e2c5a) | (3,0) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,1|{\mathcal {N}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f787772d5f322c09b86263d4182796344d32c88d) | (2,1) | | ![{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(1,1|2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d91abfddd5d6b5a548f890ec35ee1d33b836ba3) | (2,1) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbffcecaa276b4400d16792f11d61239c68eae0) | (3,2) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|2;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cd02be2f07f3323ca2192d226db554da9474cb) | (2,1) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2,\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c56745a9e285d1a039eafd50d6b635677a9a66) | (2,1) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f88c904bb4840f46fb476157ab0a9007528e29) | (2,1) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f88c904bb4840f46fb476157ab0a9007528e29) | (3,0) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f88c904bb4840f46fb476157ab0a9007528e29) | ![{\displaystyle (7-p,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab3d218c9205190926964d70570b8a249905b77) | |
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bed51cb2265164cc4a4851b5ab06a7a15b33fd) | (2,1) | |
이들은 초등각 장론 또는 이에 대응하는 반 더 시터르 공간이나 더 시터르 공간 위의 초대칭 이론에서 사용된다.[3]
각주
- ↑ Labastida, Jose; Mariño, Marcos. 《Topological quantum field theories and four manifolds》. Mathematical Physics Studies (영어) 25. Springer. doi:10.1007/1-4020-3177-7. ISBN 978-1-4020-3058-1. ISSN 0921-3767.
- ↑ “보관된 사본” (PDF). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 5월 15일에 확인함.
- ↑ Berkovits, N.; Bershadsky, M.; Hauer, T.; Zhukov, S.; Zwiebach, B. (2000). “Superstring theory on AdS2 × S2 as a coset supermanifold”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 567: 61–86. arXiv:hep-th/9907200.
같이 보기