대수적 위상수학에서 J-준동형(J-準同型, 영어: J-homomorphism)은 특수 직교군의 호모토피 군에서 초구의 호모토피 군으로 가는 특별한 군 준동형이다.[1]
정의
J-준동형은 다음과 같은 군 준동형이다.
여기서
- 는 다양체의 차 호모토피 군이다.
- 은 실수체 계수 행렬로 구성된 특수 직교군이다. 이는 리 군이므로, 특히 매끄러운 다양체를 이룬다.
- 은 차원 초구이다. 이 역시 물론 매끄러운 다양체이다.
구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, 은 위에 표준적으로 매끄럽게 작용한다.
따라서, 의 차 호모토피 군은 다음과 같은 꼴의 연속 함수의 호모토피류로 구성된다.
따라서, 이는 다음과 같은 호모토피류를 정의한다.
이는 물론 의 원소이다. 여기서 는 두 위상 공간의 이음이며, 은 위상 공간의 현수이다.
또한, 만약 극한을 취한다면, 다음과 같은 안정 J-준동형(영어: stable J-homomomorphism)을 얻는다.
역사
하인츠 호프가 인 경우를 1935년에 구성하였다.[2] 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(영어: George William Whitehead, Jr., 1918~2004)가 이를 인 경우로 일반화하였다.[3]
각주
- ↑ Milnor, John W. (2011). “Differential topology forty-six years later” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 58 (6): 804–809.
- ↑ Hopf, Heinz (1935). “Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 25: 427–440. ISSN 0016-2736.
- ↑ Whitehead, George William (1942). “On the homotopy groups of spheres and rotation groups”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 43 (4): 634–640. doi:10.2307/1968956. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968956. MR 0007107.
외부 링크
- “J-homomorphism”. 《nLab》 (영어).
- “J-homomorphism and chromatic homotopy”. 《nLab》 (영어).