論理積の導入

論理積の導入 (ろんりせきのどうにゅう、英: Conjunction introduction)(連言導入則、${\displaystyle \land }$-導入則とも）^[1][2][3]は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明の中に新たに論理積(「${\displaystyle \land }$」)を加えることができる。もし「P」という命題が真であり、かつ「Q」という命題が真であれば、「PかつQ」という命題もまた真である、という推論規則である。例えば、「雨が降っている」という命題が真であり、「私は部屋の中にいる」という命題が真であれば、「雨が降っており、私は部屋の中にいる」という命題は真である。この規則は、下記のように記述することができる。

${\displaystyle {\frac {P,Q}{\therefore P\land Q}}}$

ここで、命題「${\displaystyle P}$」と命題「${\displaystyle Q}$」がそれぞれ証明のなかのどの行に出てきても、その後の行に「${\displaystyle P\land Q}$」を示すことができるものとされている。

論理積の導入の推論規則は、シークエントの記法では、次のように表すことができる。

${\displaystyle P,Q\vdash P\land Q}$

ここでは、「${\displaystyle \vdash }$」は、「${\displaystyle P}$」および「${\displaystyle Q}$」がある論理の形式体系における命題であり、その体系における証明の途中に${\displaystyle P}$、${\displaystyle Q}$それぞれが現れるときに、その証明で「${\displaystyle P\land Q}$」が論理的帰結として示されることを表す、メタ言語の記号である。